《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

1. 下列多项式相乘,能用平方差公式计算的是(C)
A.$(x + 2)(x + 2)$
B.$(-x + y)(x - y)$
C.$(2x - y)(2x + y)$
D.$(-x - y)(x + y)$

答案： C

2. 计算：
(1) $(x + 3)(x - 3)= $$x^{2}-9$；
(2) $(a + 2b)(a - 2b)= $$a^{2}-4b^{2}$；
(3) $(4m + n)(4m - n)= $$16m^{2}-n^{2}$；
(4) $(5 + 4y)(5 - 4y)= $$25-16y^{2}$；
(5) $(2c + 1)(1 - 2c)= $$1-4c^{2}$；
(6) $(3b + 2a)(-3b + 2a)= $$4a^{2}-9b^{2}$.

答案： （1）$x^{2}-9$；（2）$a^{2}-4b^{2}$；（3）$16m^{2}-n^{2}$；（4）$25-\frac{1}{16}y^{2}$；（5）$1-4c^{2}$；（6）$4a^{2}-9b^{2}$.

3. 已知$a + b = 3$,$a - b = 5$,则代数式$a^{2}-b^{2}= $15.

答案： 15

4. 计算：$\left(-\dfrac{2}{3}m + n\right)\left(-\dfrac{2}{3}m - n\right)= $$\frac{4}{9}m^{2}-n^{2}$.

答案： $\frac{4}{9}m^{2}-n^{2}$

问题 运用平方差公式计算：
(1) $\left(-\dfrac{1}{2}x - y\right)\left(y - \dfrac{1}{2}x\right)$；
(2) $\left(x - \dfrac{1}{3}\right)\left(x^{2}+\dfrac{1}{9}\right)\left(\dfrac{1}{3}+x\right)$；
(3) $a(a^{2}+a)(ab - b)$；
(4) $(a + b - c)(a - b + c)$.
名师指导
(1) 找出相同项为$-\dfrac{1}{2}x$,相反项为$y和-y$；
(2) 先把$\left(x + \dfrac{1}{3}\right)与\left(x - \dfrac{1}{3}\right)$相乘,得$x^{2}-\dfrac{1}{9}$,再与$x^{2}+\dfrac{1}{9}$相乘,这样可以连续两次运用平方差公式,使运算简便；
(3) 本题从表面上看不能用平方差公式运算,但是如果逆向使用乘法对加法的分配律,将$(a^{2}+a)转化为a(a + 1)$,将$(ab - b)转化为b(a - 1)$,就能运用平方差公式运算；
(4) 两个多项式都是三项式,似乎与平方差公式不符,但是我们可以发现$(a + b - c)(a - b + c)可以改写成[a+(b - c)][a-(b - c)]$,相同项是$a$,相反项是$(b - c)与-(b - c)$,所以可以运用平方差公式.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：

答案：
(1) $(-\dfrac{1}{2}x - y)(y - \dfrac{1}{2}x)=(-\dfrac{1}{2}x - y)(-\dfrac{1}{2}x + y)=(-\dfrac{1}{2}x)^2 - y^2=\dfrac{1}{4}x^2 - y^2$
(2) $(x - \dfrac{1}{3})(x^{2}+\dfrac{1}{9})(\dfrac{1}{3}+x)=(x - \dfrac{1}{3})(x + \dfrac{1}{3})(x^2 + \dfrac{1}{9})=(x^2 - \dfrac{1}{9})(x^2 + \dfrac{1}{9})=x^4 - \dfrac{1}{81}$
(3) $a(a^{2}+a)(ab - b)=a\cdot a(a + 1)\cdot b(a - 1)=a^2b(a^2 - 1)=a^4b - a^2b$
(4) $(a + b - c)(a - b + c)=[a + (b - c)][a - (b - c)]=a^2 - (b - c)^2=a^2 - b^2 + 2bc - c^2$