《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

7. 计算：(1) $a(3 - 2a)+2(a + 1)(a - 1)$；
(2) $(2a + 1)(2a - 1)-4a(a - 1)$.

答案： （1）$3a-2$；（2）$4a-1$.

8. 如图,如果把一块边长为$a的正方形土地的一边减少4m$,另一边增加$4m$,同学们,你们觉得这块土地的面积有变化吗？请说明理由.
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答案： $\because a^{2}-(a+4)(a-4)=a^{2}-(a^{2}-16)=16$，$\therefore$ 与原来相比，土地面积减少了16平方米.

如图(1),边长为$a的大正方形剪去一个边长为b$的小正方形,然后将图(1)中的阴影部分拼成一个长方形[如图(2)所示].
(1) 上述操作能验证的等式是$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$(用$a$,$b$表示).
(2) 请利用你从(1)中得出的等式,完成下列各题：
① 已知$9a^{2}-b^{2}= 36$,$3a + b = 9$,则$3a - b=$4；
② 计算：$\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)…\left(1-\dfrac{1}{2025^{2}}\right)$.$\frac{1013}{2025}$
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答案： （1）解：图
(1)阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即$a^{2}-b^{2}$，图
(2)阴影部分是长为$a+b$，宽为$a-b$的长方形，因此面积为$(a+b)(a-b)$，由图
(1)、图
(2)的面积相等，得$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.
（2）① $\because 9a^{2}-b^{2}=36$，$\therefore (3a+b)(3a-b)=36$.又$\because 3a+b=9$，$\therefore 3a-b=36÷9=4$. ② 原式$=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})\cdot(1-\frac{1}{5})(1+\frac{1}{5})\cdots(1-\frac{1}{2025})(1+\frac{1}{2025})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\frac{4}{5}×\cdots×\frac{2024}{2025}×\frac{2026}{2025}=\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}=\frac{1013}{2025}$.

1. 如图,图中最大的正方形的面积用含$a$,$b$的式子表示为(C)

A.$a^{2}$
B.$a^{2}+b^{2}$
C.$a^{2}+2ab+b^{2}$
D.$a^{2}+ab+b^{2}$
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答案： C.

2. 下列运算正确的是(C)

A.$(x + y)^{2}= x^{2}+y^{2}$
B.$(a - b)^{2}= a^{2}-b^{2}$
C.$(x - 2y)^{2}= x^{2}-4xy + 4y^{2}$
D.$(x + y)(-x - y)= x^{2}-y^{2}$

答案： C.