《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是BC$边的中点,$DE\perp BC交\angle BAC的平分线于点E$,$EF\perp AB于F$,$EG\perp AC的延长线于G$. 那么$BF = CG$吗？为什么？

答案： BF=CG. 证明:连接BE，CE.先证△BDE≌△CDE(SAS)，
∴EB=EC.
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG.
再证Rt△BEF≌Rt△CEG(HL)，
∴BF=CG.

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$CA = CB$,点$M在线段AB$上,$\angle GMB= \frac{1}{2}\angle A$,$BG\perp MG$,垂足为$G$,$MG与BC相交于点H$. 若$MH = 8\,cm$,求$BG$的长.

答案： 提示:如图，作MD⊥BC于点D，延长MD交BG的延长线于点E，证△BED≌△MHD，得BE=MH，再得BG等于MH的一半，即为4.

【观察、猜想、探究】
在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 2\angle B$.
(1)如图(1),当$\angle C = 90^{\circ}$,$AD为\angle BAC$的角平分线时,求证：$AB = AC + CD$.
(2)如图(2),当$\angle C\neq90^{\circ}$,$AD为\angle BAC$的角平分线时,线段$AB$,$AC$,$CD$又有怎样的数量关系？不需要证明,请直接写出你的猜想.
(3)如图(3),当$AD为\triangle ABC$的外角平分线时,线段$AB$,$AC$,$CD$又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.

答案： （1）提示:过点D作DE⊥AB，交AB于点E.
（2）AB=CD+AC.
（3）AB=CD - AC，提示:在AF上截取AG=AC.