《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

问题 如图,在$\triangle ABC$中,点$E在AC$上,$\angle AEB = \angle ABC$。
(1)图(1)中,作$\angle BAC的角平分线AD$,分别交$CB$,$BE于D$,$F$两点。求证：$\angle EFD = \angle ADC$；
(2)图(2)中,作$\triangle ABC的外角\angle BAG的角平分线AD$所在的直线,分别交$CB$,$BE的延长线于D$,$F$两点,试探究(1)中结论是否仍成立。为什么？
名师指导
(1)首先根据角平分线的性质可得$\angle BAD = \angle DAC$,再根据三角形外角的性质可得$\angle EFD = \angle DAC + \angle AEB$,$\angle ADC = \angle ABC + \angle BAD$,进而得到结论。
(2)类似(1)可得$\angle BAD = \angle DAG$,再根据对顶角相等得$\angle FAE = \angle DAG = \angle BAD$,从而根据外角的性质可得$\angle EFD = \angle AEB - \angle FAE$,$\angle ADC = \angle ABC - \angle BAD$,进而得到结论。
解题示范
(学生在教师指导下,独立完成)
解：

答案：
(1)
因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$，
所以 $\angle BAD = \angle DAC$，
因为 $\angle EFD = \angle DAC + \angle AEB$，
$\angle ADC = \angle ABC + \angle BAD$，
又因为 $\angle AEB = \angle ABC$，
所以 $\angle EFD = \angle ADC$。
(2)
仍成立，
因为 $AD$ 平分 $\angle BAG$，
所以 $\angle BAD = \angle DAG$，
因为 $\angle FAE = \angle DAG = \angle BAD$，
所以 $\angle EFD = \angle AEB - \angle FAE$，
$\angle ADC = \angle ABC - \angle BAD$，
又因为 $\angle AEB = \angle ABC$，
所以 $\angle EFD = \angle ADC$。

1. 下列说法中正确的是(C)
A.钝角三角形的外角中有两个锐角
B.直角三角形的外角中有三个直角
C.三角形的内角中至少有两个锐角
D.三角形的内角中至少有一个钝角

答案： C

2. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则$\angle \alpha$的大小为(B)

A.$85^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： B