《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

7. 设$a$,$b$是实数,定义$@$的一种运算如下：$a@b= (a + b)^{2}-(a - b)^{2}$,则下列结论：
(1) 若$a@b = 0$,则$a = 0或b = 0$；
(2) $a@(b + c)= a@b + a@c$；
(3) 不存在实数$a$,$b$,满足$a@b = a^{2}+5b^{2}$；
(4) 设$a$,$b$是矩形的长和宽,若矩形的周长固定,则当$a = b$时,$a@b$最大。
以上结论正确的有哪些？

答案： （1）（2）（4）.

1. 如图(1),在边长为$a$米的正方形草坪上修建两条宽为$b$米的道路。
(1) 为了求得剩余草坪的面积,小明同学想出了两种方法。
方法①：用正方形面积减道路面积；
方法②：将道路平移到如图(2)所示的位置。
请你根据小明的两种求面积的方法,直接写出含有字母$a$,$b$的代数式表示的等式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
(2) 根据(1)中的等式,解决如下问题：
① 已知$a - b = 5$,$a^{2}+b^{2}= 20$,求$ab$的值；
② 已知$(x - 2023)^{2}+(x - 2025)^{2}= 12$,求$(x - 2024)^{2}$的值。
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① 把$a-b=5$，$a^2+b^2=20$代入$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$\therefore 5^2=20-2ab$，$\therefore ab=-2.5$. ② 5.

答案： （1）$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；（2）① 把$a-b=5$，$a^2+b^2=20$代入$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$\therefore 5^2=20-2ab$，$\therefore ab=-2.5$. ② 5.

2. 已知$a$,$b$,$c为\triangle ABC$的三边长,且$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}= 2ab + 2ac + 2bc$,试判断$\triangle ABC$的形状,并证明你的结论。

答案： $\triangle ABC$是等边三角形. 证明如下：$\because 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc$，$\therefore 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0$，即$a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=0$，$\therefore (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0$，$\therefore a-b=0$，$a-c=0$，$b-c=0$，得$a=b$，$a=c$，$b=c$，即$a=b=c$，所以$\triangle ABC$是等边三角形.