《2025年新课程自主学习与测评八年级数学上册人教版》

1. 角的平分线上的点到角两边的距离相等.

答案： 两边的距离.

2. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

答案： 两边距离.

3. 证明命题“角的平分线上的点到角两边的距离相等”,要根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证,写出证明过程. 下面是小明同学根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证.
已知：如图,$\angle AOP= \angle BOP$,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D.
求证：PC=PD.
请你补全已知和求证,并写出证明过程.

答案： PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D;PC=PD;通过AAS证明△PDO≌△PCO即可.

问题 如图,点$B$,$C在\angle A$的两边上,且$AB = AC$,$D为\angle A$内一点,$DB = DC$,$DE\perp AB$,$DF\perp AC$,垂足分别为$E$,$F$. 求证：$DE = DF$.
名师指导
由已知条件很容易想到连接$AD$,证明$\triangle ACD\cong\triangle ABD$,从而有$\angle BAD= \angle CAD$,于是$D是\angle BAC$平分线上一点,可以用角平分线的性质证得$DE = DF$.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
证明：

答案： 证明：
连接 $AD$。
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中：
$AB = AC$，
$DB = DC$，
$AD = AD$（公共边）。
由 $SSS$ 三角形的全等判定，$\triangle ABD \cong \triangle ACD$。
因此，$\angle BAD = \angle CAD$，即 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线。
由于 $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，且 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，根据角平分线的性质，$DE = DF$。
所以，$DE = DF$ 得证。