《2025年新课程能力培养七年级数学上册人教版》

○如 $ v - 2.5 $,$ 3x + 5y + 2z $,$ \frac{1}{2}ab - \pi r^{2} $,$ x^{2} + 2x + 18 $,这些式子可以看作是几个单项式的和. 像这样,几个单项式的和叫作多项式. 其中每个单项式叫作多项式的项,不含字母的项叫作常数项. 多项式里,次数最高的项的次数,叫作多项式的次数.
例如多项式 $ v - 2.5 $ 的项数是2项,分别是v与-2.5,次数是一次,这个多项式称作一次二项式；
多项式 $ 3x + 5y + 2z $ 的项数是3项,分别是3x与5y与2z,次数是一次,这个多项式称作一次三项式；
多项式 $ \frac{1}{2}ab - \pi r^{2} $ 的项数是2项,分别是$\frac{1}{2}ab$与$-\pi r^{2}$,次数是二次,这个多项式称作二次二项式；
多项式 $ x^{2} + 2x + 18 $ 的项数是3项,分别是$x^{2}$与2x与18,次数是二次,这个多项式称作二次三项式.
○单项式和多项式统称整式.

答案： 和 项 常数项 次数最高的项 2项 v与-2.5 一次 一次二项式 3项 3x与5y与2z 一次 一次三项式 2项 $\frac{1}{2}ab$与$-\pi r^{2}$ 二次 二次二项式 3项 $x^{2}$与2x与18 二次 二次三项式 单项式 多项式

1. 下列说法正确的是(B)

A.整式就是多项式
B.$ \pi $ 是单项式
C.$ x^{4} + 2x^{3} $ 是七次二项式
D.$ \frac{3x - 1}{5} $ 是单项式

答案： B

2. 多项式 $ x^{m} + (m + n)x^{2} - 3x + 5 $ 是关于 $ x $ 的三次四项式,且二次项系数是 -2,则 $ m = $3,$ n = $-5.

答案： 3 -5

【例】下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数,是多项式的指出项和次数：
$ -\frac{1}{2}a^{2}b $,$ \frac{m^{4}n^{2}}{7} $,$ x^{2} + y^{2} - 1 $,$ x $,$ 32t^{3} $,$ \frac{1}{3} $,$ 3x^{2} - y + 3xy^{3} + x^{4} - 1 $,$ 2x - y $.
多项式：$x^{2}+y^{2}-1$，$3x^{2}-y+3xy^{3}+x^{4}-1$，$2x - y$；单项式：$-\frac{1}{2}a^{2}b$，$\frac{m^{4}n^{2}}{7}$，$x$，$32t^{3}$，$\frac{1}{3}$.
【点拨】①多项式的各项应包括它前面的符号；②多项式没有系数的概念,但其每一项均有系数,每一项的系数也包括前面的符号；③要确定一个多项式的次数,先要确定此多项式中各项(单项式)的次数,然后找次数最高的；④一个多项式的最高次项可以不唯一；⑤单独一个数或一个字母也是单项式；⑥多项式包含加减运算,单项式只含有乘积运算,不含加减运算.

答案： 多项式：$x^{2}+y^{2}-1$，$3x^{2}-y+3xy^{3}+x^{4}-1$，$2x - y$；单项式：$-\frac{1}{2}a^{2}b$，$\frac{m^{4}n^{2}}{7}$，$x$，$32t^{3}$，$\frac{1}{3}$