《2025年新课程能力培养七年级数学上册人教版》

【例 3】某公司计划砌一个形状如图 1 的喷水池,后有人建议改为如图 2 的形状,且外圆直径不变,只是担心原来备好的材料不够,请你比较两种方案,哪一种需用的材料多。(即比较两个图形的周长)
【点拨】设大圆半径为 $R$,小圆半径依次为 $r_{1}$,$r_{2}$,$r_{3}$,分别表示两个图形的周长,再结合 $r_{1}+r_{2}+r_{3}= R$,化简式子比较大小。

答案： 解：设大圆半径为R，小圆半径依次为$r_{1},r_{2},r_{3}$，题图1中总周长$=2×2πR=4πR$.题图2中总周长$=2πR+(2πr_{1}+2πr_{2}+2πr_{3})=2πR+2π(r_{1}+r_{2}+r_{3})=2πR+2πR=4πR$，
∴两种方案所需材料相等.

1. 计算 $5a + 3b-(4a - 6b)$,结果是(D)
A.$a + 3b$
B.$a - 3b$
C.$9a - 3b$
D.$a + 9b$

答案： D

2. 定义一种新运算：对于任意有理数 $a$,$b$,都有 $a\oplus b = a - 2b$,例如：$2\oplus 3 = 2 - 2×3 = -4$。化简 $(x - 2y)\oplus(x + 2y)= $$-x - 6y$。

答案： $-x - 6y$

3. 先化简,再求值：$(x - 6x^{2})-(2x + x^{2})$,其中 $x = -2$。

答案： 解：原式$=-7x^{2}-x$，当$x = -2$时，原式$=-26$.

4. 先化简,再求值：$2m^{2}+6 - 3(m^{2}-2m + 1)$,其中 $m = -1$。

答案： 解：原式$=-m^{2}+6m + 3$，当$m=-1$时，原式$=-4$.

5. 先化简,再求值：$5a^{2}+2(a^{2}-b^{2})-3(2a^{2}-b^{2})$,其中 $a = -1$,$b= \frac{1}{2}$。

答案： 解：原式$=5a^{2}+2a^{2}-2b^{2}-6a^{2}+3b^{2}=a^{2}+b^{2}$，当$a=-1$，$b=\frac{1}{2}$时，原式$=(-1)^{2}+(\frac{1}{2})^{2}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$.