《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

1. 下列说法中,正确的是(D)
A.$ AB $ 垂直于 $ \odot O $ 的半径,则 $ AB $ 是 $ \odot O $ 的切线
B.经过半径外端的直线是圆的切线
C.经过切点的直线是圆的切线
D.圆心到直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线

答案： D

2. 如图,以点 $ O $ 为圆心作圆,所得的圆与直线 $ a $ 相切的是(D)

A.以 $ OA $ 的长为半径的圆
B.以 $ OB $ 的长为半径的圆
C.以 $ OC $ 的长为半径的圆
D.以 $ OD $ 的长为半径的圆

答案： D

3. 如图,直线 $ AD $ 是 $ \odot O $ 的切线,$ A $ 为切点,$ OD $ 交 $ \odot O $ 于点 $ B $,点 $ C $ 在 $ \odot O $ 上,且 $ \angle ODA = 36° $,则 $ \angle ACB $ 的度数为(D)

A.$ 54° $
B.$ 36° $
C.$ 30° $
D.$ 27° $

答案： D

1. 如图,四边形 $ ABCD $ 内接于 $ \odot O $,$ BD $ 是 $ \odot O $ 的直径,过点 $ A $ 作 $ AE \perp CD $,交 $ CD $ 的延长线于点 $ E $,$ DA $ 平分 $ \angle BDE $。
(1)求证：$ AE $ 是 $ \odot O $ 的切线。
(2)已知 $ AE = 8 cm $,$ CD = 12 cm $,求 $ \odot O $ 的半径。

方法归纳交流 上述证切线的方法可简称为“连半径,证垂直”,当直线与圆的公共点不明确时(公共点没有用大写字母表示出来),过圆心作直线的______,再利用“圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”即可证明,简称为“作垂线,证相等”。
变式演练 如图,已知 $ \odot O $ 的半径为 5,直线 $ EF $ 经过 $ \odot O $ 上一点 $ P $(点 $ E $,$ F $ 在点 $ P $ 的两旁),下列条件能判定直线 $ EF $ 与 $ \odot O $ 相切的是( )
A. $ OP = 5 $
B. $ OE = OF $
C. 点 $ O $ 到直线 $ EF $ 的距离是 4
D. $ OP \perp EF $

(1)证明:如图，连接OA.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD.
∵DA平分∠BDE,
∴∠ODA=∠EDA,
∴∠OAD=∠EDA,
∴EC//OA.
∵AE⊥CD,
∴AE⊥OA.
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线.
(2)如图，过点O作OF⊥CD,垂足为F.
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°,
∴四边形AOFE是矩形.
∴OF=AE=8cm.又
∵OF⊥CD,
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=6cm.在Rt△ODF中,OD=$\sqrt{OF²+DF²}$=10cm,即⊙O的半径为10cm.
方法归纳交流 上述证切线的方法可简称为“连半径,证垂直”,当直线与圆的公共点不明确时(公共点没有用大写字母表示出来),过圆心作直线的垂线段,再利用“圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”即可证明,简称为“作垂线,证相等”。
变式演练 如图,已知 $ \odot O $ 的半径为 5,直线 $ EF $ 经过 $ \odot O $ 上一点 $ P $(点 $ E $,$ F $ 在点 $ P $ 的两旁),下列条件能判定直线 $ EF $ 与 $ \odot O $ 相切的是(D)

答案： 解:
(1)证明:如图，连接OA.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD.
∵DA平分∠BDE,
∴∠ODA=∠EDA,
∴∠OAD=∠EDA,
∴EC//OA.
∵AE⊥CD,
∴AE⊥OA.
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线.
(2)如图，过点O作OF⊥CD,垂足为F.
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°,
∴四边形AOFE是矩形.
∴OF=AE=8cm.又
∵OF⊥CD,
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=6cm.在Rt△ODF中,OD=$\sqrt{OF²+DF²}$=10cm,即⊙O的半径为10cm.方法归纳交流　垂线段变式演练　D