《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

2. 矩形的周长为 8,则该矩形的面积 $ y $ 与宽 $ x $ 之间的函数关系式为y=-x²+4x.

答案： y=-x²+4x

1. 学完二次函数的定义后,老师要求同学们各举一个二次函数的例子. 小刚：$ y = 2x^2 - 1 $ 是一个二次函数. 小红：$ y = (x + 2)^2 - x^2 $ 是一个二次函数. 小华：$ y = ax^2 + bx + c $(其中 $ a $,$ b $,$ c $ 为常数)是一个二次函数. 小佳：$ y = \frac{x^2}{x} + x - 1 $ 是一个二次函数. 小敏：$ y = ax^2 - 2bx + 5 $ 是一个二次函数.
上面五位同学所举的例子对吗？若不对,错在哪里？
解:小刚的举例是正确的;小红的举例是错误的,整理后为y=4x+4,是一次函数;小华的举例是错误的,当a=0且b≠0时是一次函数;小佳的举例是错误的,二次函数是由整式构成的;小敏的举例是错误的,二次函数中自变量只有一个,因此需指明a,b为常数,且a≠0.
方法归纳交流 判断一个函数是不是二次函数需要注意哪些问题？
①解析式必须是整式；②化简后,自变量的最高次数是2,且二次项系数不是0.
变式演练 已知二次函数 $ y = 1 - 3x + 5x^2 $,则它的二次项系数 $ a $、一次项系数 $ b $、常数项 $ c $ 分别是(D)
A.$ 1 $,$ -3 $,$ 5 $
B.$ 1 $,$ 3 $,$ 5 $
C.$ 5 $,$ 3 $,$ 1 $
D.$ 5 $,$ -3 $,$ 1 $

答案： 解:小刚的举例是正确的;小红的举例是错误的,整理后为y=4x+4,是一次函数;小华的举例是错误的,当a=0且b≠0时是一次函数;小佳的举例是错误的,二次函数是由整式构成的;小敏的举例是错误的,二次函数中自变量只有一个,因此需指明a,b为常数,且a≠0.
方法归纳交流 整式 2 0
变式演练 D

2. 已知函数 $ y = (m + 3)x^{m^2 - 7} $,当 $ m $ 取什么值时,此函数是二次函数？
解:若此函数为二次函数,则有m+3≠0且m²-7=2,所以当m=3时,函数为二次函数.
变式演练 若 $ y = (a - 1)x^2 - ax + 6 $ 是关于 $ x $ 的二次函数,则 $ a $ 的取值范围是(B)
A.$ a \neq 0 $
B.$ a \neq 1 $
C.$ a \neq 1 $ 且 $ a \neq 0 $
D.无法确定

答案： 解:若此函数为二次函数,则有m+3≠0且m²-7=2,所以当m=3时,函数为二次函数.
变式演练 B

3. 一直角三角形的两直角边之和为 15,其中一条直角边长为 $ x $,写出它的面积 $ S $ 与直角边长 $ x $ 之间的函数解析式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
变式演练 某商品的进价为每件 40 元,现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件. 市场调查发现：调整价格,每涨价 1 元,每星期要少卖出 10 件. 则每星期售出商品的利润 $ y $(单位：元)与每件涨价 $ x $(单位：元)之间的函数关系式是(D)

A.$ y = 300 - 10x $
B.$ y = 300(60 - 40 - x) $
C.$ y = (300 + 10x)(60 - 40 - x) $
D.$ y = (300 - 10x)(60 - 40 + x) $

答案： 解:依题意可知另一条直角边长为(15-x),
∴S= $\frac{1}{2}$x(15-x)=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{15}{2}$x.
∵x＞0且15-x＞0,
∴0＜x＜15,
∴S与x之间的函数解析式为S=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{15}{2}$x(0＜x＜15).
变式演练 D

1. 已知函数 $ y = (m + 1)x^{m^2 + 1} + x^2 + 3 $ 是二次函数,则 $ m $ 的值为(D)
A.$ 1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $ 或 $ -1 $
D.$ 1 $ 或 $ 0 $ 或 $ -1 $

答案： D

2. 一块矩形草地的长为 8 m,宽为 6 m,若将长和宽都增加 $ x $ m,设增加的面积为 $ y $ $ m^2 $,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为y=x²+14x.

答案： y=x²+14x