《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

2. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中, $ \angle A = \angle C = 90^{\circ} $。求证： $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ 四个点在同一个圆上。

方法归纳交流 利用圆的定义,证明几点在同一个圆上的方法：证明这几个点到某一个点的距离相等。
证明:如图，连接BD，取BD的中点O,连接OA,OC.
∵∠BAD=∠BCD=90°,OB =OD,
∴OA=OB=OD=OC,
∴A,B，C,D四个点在同一个圆上.

答案： 证明:如图，连接BD，取BD的中点O,连接OA,OC.
∵∠BAD=∠BCD=90°,OB =OD,
∴OA=OB=OD=OC,
∴A,B，C,D四个点在同一个圆上.
方法归纳交流 相等

3. 如图,在 $ \odot O $ 中, $ AB $ 为弦, $ C $, $ D $ 两点在 $ AB $ 上,且 $ \angle AOC = \angle BOD $。求证： $ \triangle OAC \cong \triangle OBD $。

答案： 证明:
∵OA=OB,
∴∠A=∠B.
又
∵∠AOC=∠BOD,
∴△OAC≌△OBD.

1. 如图, $ AB $ 是 $ \odot O $ 的弦,半径 $ OC $, $ OD $ 分别交 $ AB $ 于点 $ E $, $ F $,且 $ AE = BF $,请你判断线段 $ OE $ 与 $ OF $ 的数量关系,并给予证明。

答案： 解:OE=OF.
证明:如图，连接OA,OB，
∵OA=OB,
∴∠OAE=∠OBF.
又
∵AE=BF,
∴△OAE≌△OBF,
∴OE=OF.

2. 如图,线段 $ AD $ 过圆心 $ O $,交 $ \odot O $ 于 $ D $, $ C $ 两点, $ \angle EOD = 78^{\circ} $, $ AE $ 交 $ \odot O $ 于点 $ B $,且 $ AB = OC $,求 $ \angle A $ 的度数。

答案： 解:如图，连接OB.
∵AB=OC,OB=OC,
∴AB=OB,
∴∠BOA=∠A.
又
∵OB=OE,
∴∠E=∠EBO=∠BOA+∠A=2∠A,
∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A,
即3∠A=78°,
∴∠A=26°.