《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

1. (1) 在证明时,先假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立。这种方法叫作反证法。
(2) 反证法的步骤：
① 反设：假设命题的结论不成立。
② 推理：从①中的“反设”出发,逐步推理直至出现与已知条件、定义、定理等相矛盾的结果。
③ 结论：由矛盾的结果判定①中的“反设”不成立,从而原命题成立。

答案： 1.
(1)不成立　不正确
(2)不成立　定义　定理

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 2\ cm$,$BC = 4\ cm$,$CD$是中线,以点$C$为圆心,$\sqrt{5}\ cm$为半径画圆,则点$A$,$B$,$D与\odot C$有怎样的位置关系？

方法归纳交流 判断点和圆的位置关系的方法：先计算出点到圆心的距离,然后将这个距离与圆的半径进行比较,根据比较的结果判断点和圆的位置关系。
解:在Rt△ACB中，由勾股定理得AB=√(2²+4²)=2√5(cm).
∵CD是中线，
∴CD=1/2AB=√5(cm),
∴AC=2cm＜√5cm,BC=4cm＞√5cm,CD =√5cm,
∴点A在⊙C内，点B在⊙C外，点D在⊙C上.

答案： 解:在Rt△ACB中，由勾股定理得AB=√(2²+4²)=2√5(cm).
∵CD是中线，
∴CD=1/2AB=√5(cm),
∴AC=2cm＜√5cm,BC=4cm＞√5cm,CD =√5cm,
∴点A在⊙C内，点B在⊙C外，点D在⊙C上.
方法归纳交流　半径

3. 如图,在平面直角坐标系中,点$A$,$B$,$C的坐标分别为(1,4)$,$(5,4)$,$(1,-2)$,则$\triangle ABC$外接圆的圆心坐标是(D)

A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(1,3)$
D.$(3,1)$

答案： D

4. 如图 1,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,连接$AO$,若$\angle BAC + \angle OAB = 90^{\circ}$。
(1) 求证：$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$。
(2) 如图 2,作$CD \perp AB交于点D$,$AO的延长线交CD于点E$,若$AO = 3$,$AE = 4$,求线段$AC$的长。

答案：
4.解:
(1)证明:如图1,连接BO并延长BO交AC于点T.
∵AO=BO,
∴∠OAB=∠OBA.
又
∵∠BAC+∠OAB=90°,
∴∠BAC+∠OBA=90°,
∴∠BTA=90°,
∴BT⊥AC,
∴⌢AB=⌢BC.

(2)如图2,延长AO并交⊙O于点F,连接CF.
∵CD⊥AB于点D,
∴∠CDA=90°,
∴∠OAB+∠AED=90°.
∵∠OAB+∠BAC=90°,
∴∠AED=∠BAC=∠FEC.
∵AF为⊙O的直径,
∴∠ACF=90°,
同理:∠FCE=∠BAC,
∴∠FEC=∠FCE,
∴FE=FC.
∵AO=3,AE=4,
∴OE=1,FE=FC=2.
在Rt△FCA中,
∴AC=√(6² - 2²)=4√2.