《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

用公式法解一元二次方程,先把方程化为一般形式,确定 $ a,b,c $ 的值,如果$ b^{2}-4ac $$\geqslant 0$,那么方程的实数根可以写为$ x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $；如果$ b^{2}-4ac $$＜0$,那么方程无实数根.

答案： 一般 $ b^{2}-4ac $ $ x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $ $ b^{2}-4ac $

2. 根据方程根的情况求未知数的字母系数.
关于 $ x $ 的方程 $ 2x^{2}-(4k+1)x+2k^{2}-1= 0 $,当 $ k $ 取何值时,
(1)方程有两个不相等的实数根？
(2)方程有两个相等的实数根？
(3)方程没有实数根？

答案： 解:Δ=b²-4ac=(4k+1)²-4×2×(2k²-1)=8k+9.
(1)
∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ＞0,
∴8k+9＞0,解得k＞-9/8.
(2)
∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=0,
∴8k+9=0,解得k=-9/8.
(3)
∵方程没有实数根,
∴Δ＜0,
∴8k+9＜0,解得k＜-9/8.

1. 若一元二次方程 $ x^{2}+2x+m= 0 $ 有实数根,则 $ m $ 的取值范围是m≤1.
2. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (k-1)x^{2}-2x+1= 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ k $ 的取值范围是k＜2且k≠1.

答案： 1.m≤1 2.k＜2且k≠1

一元二次方程根的情况与判别式 $ \Delta $ 的关系：
(1)$ \Delta ＞0\Leftrightarrow $ 方程有两个不相等的实数根；
(2)$ \Delta =0\Leftrightarrow $ 方程有两个相等的实数根；
(3)$ \Delta ＜0\Leftrightarrow $ 方程没有实数根. 由此可知当 $ \Delta $≥0$\Leftrightarrow $ 方程有两个实数根.

答案：
(1)两个不相等
(2)两个相等
(3)没有 ≥0

1. 一元二次方程 $ x^{2}-x-2= 0 $ 的解是(D)
A.$ x_{1}= 1,x_{2}= 2 $
B.$ x_{1}= 1,x_{2}= -2 $
C.$ x_{1}= -1,x_{2}= -2 $
D.$ x_{1}= -1,x_{2}= 2 $

答案： D

2. 下列方程中,没有实数根的是(C)
A.$ x^{2}+2x-1= 0 $
B.$ x^{2}+2\sqrt{2}x+2= 0 $
C.$ x^{2}+\sqrt{2}x+1= 0 $
D.$ -x^{2}+x+2= 0 $

答案： C

3. 已知关于 $ x $ 的方程 $ (3x+n)^{2}= mx $ 有两个相等的实数根,则 $ \frac{m}{n}= $0或12.

答案： 0或12

1. 用求根公式解一元二次方程 $ 3x^{2}-4x-2= 0 $ 时,$ a,b,c $ 的值是(C)
A.$ a= 3,b= -2,c= 4 $
B.$ a= 3,b= -4,c= 2 $
C.$ a= 3,b= -4,c= -2 $
D.$ a= 3,b= 4,c= -2 $

答案： C

2. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x-k+4= 0 $ 没有实数根,则 $ k $ 的取值范围为(C)
A.$ k＞0 $
B.$ k＞4 $
C.$ k＜0 $
D.$ k＜4 $

答案： C

3. 用公式法解方程 $ x^{2}-6x-6= 0 $,正确的结果是(D)
A.$ x= -3+\sqrt{15} $
B.$ x= -3-\sqrt{15} $
C.$ x= -3\pm\sqrt{15} $
D.$ x= 3\pm\sqrt{15} $

答案： D

4. $ x= \frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}+4× 1× 2}}{2× 2} $ 是下列哪个一元二次方程的根(D)
A.$ 2x^{2}-3x+1= 0 $
B.$ 2x^{2}+3x+1= 0 $
C.$ 2x^{2}+3x-1= 0 $
D.$ 2x^{2}-3x-1= 0 $

答案： D