《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

5. 下列抛物线,开口最大的是 (A)
A.$ y = \frac{1}{4}x^2 $
B.$ y = 4x^2 $
C.$ y = -2x^2 $
D.无法确定

答案： A

6. 当 $ a = $$ -\frac{2}{3} $时,抛物线 $ y = \frac{2}{3}x^2 $ 与 $ y = ax^2 $ 开口大小相同,方向相反。

答案： $ -\frac{2}{3} $

7. 如图,在四个二次函数的图象中,分别对应的是① $ y = ax^2 $；② $ y = bx^2 $；③ $ y = cx^2 $；④ $ y = dx^2 $。则 $ a $,$ b $,$ c $,$ d $ 的大小关系为 (A)

A.$ a ＞ b ＞ c ＞ d $
B.$ a ＞ b ＞ d ＞ c $
C.$ b ＞ a ＞ c ＞ d $
D.$ b ＞ a ＞ d ＞ c $

答案： A

8. 如图,当 $ ab ＞ 0 $ 时,函数 $ y = ax^2 $ 的图象与函数 $ y = bx + a $ 的图象大致是 (C)

答案： C

9. 定义运算“※”：$ a※b = \begin{cases} ab^2 (b ＞ 0), \\ -ab^2 (b \leq 0). \end{cases} $ 如：$ 1※(-2) = -1 × (-2)^2 = -4 $。则函数 $ y = 2※x $ 的图象大致是 (C)

答案： C

10. 如图,正方形四个顶点的坐标依次为 $ (1, 1) $,$ (3, 1) $,$ (3, 3) $,$ (1, 3) $。若抛物线 $ y = ax^2 $ 与正方形有公共点,则实数 $ a $ 的取值范围是$ \frac{1}{9}\leqslant a\leqslant 3 $。

答案： $ \frac{1}{9}\leqslant a\leqslant 3 $

11. 抛物线 $ y = ax^2 $ 与直线 $ y = 2x - 3 $ 交于点 $ (1, b) $。
(1)求 $ a $ 和 $ b $ 的值,并写出抛物线 $ y = ax^2 $ 的解析式。
(2)对于函数 $ y = ax^2 $,当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(3)求该抛物线与直线 $ y = -2 $ 的两个交点与该抛物线的顶点所构成的三角形的面积。

答案： 解:
(1)
∵点 $ (1,b) $ 在直线 $ y=2x-3 $ 上,
∴$ b=2×1-3=-1 $.
∵点 $ (1,-1) $ 在抛物线 $ y=ax^{2} $ 上,
∴$ -1=a×1^{2} $,
∴$ a=-1 $,
∴抛物线的解析式为 $ y=-x^{2} $.
(2)由
(1)知,对于函数 $ y=-x^{2} $,当 $ x＜0 $ 时,y 随 x 的增大而增大.
(3)设该抛物线与直线 $ y=-2 $ 的两个交点分别为 A,B,当 $ y=-2 $ 时,$ -2=-x^{2} $,
∴$ 2=x^{2} $,
∴$ x=\pm \sqrt{2} $.不妨令 A,B 两点的坐标分别为 $ (-\sqrt{2},-2) $,$ (\sqrt{2},-2) $,则 $ AB=\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2} $,
∴所求三角形的面积为 $ \frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2=2\sqrt{2} $.