《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

5. 如图,$\triangle ABC按顺时针方向旋转一定角度后得到\triangle ADE$,已知$\angle B = 19^{\circ}$,$\angle ACB = 37^{\circ}$,在这个旋转过程中,回答下列问题.
(1)旋转中心是哪一点？旋转角是哪个角？旋转角等于多少度？
(2)点$B$,$C$经过旋转分别到什么位置？
(3)$AB与AD$的长有什么关系？$AC与AE$呢？
(4)$\angle BAD与\angle DAE$有什么关系？

答案： 解:
(1)旋转中心是点A,旋转角为∠DAE或∠BAD,旋转角等于124°.
(2)经过旋转后，点B,C分别旋转到了点D,E 的位置.
(3)AB=AD,AC=AE.
(4)∠BAD=∠DAE.

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,若$M是BC$边上任意一点,将$\triangle ABM绕点A逆时针旋转得到\triangle ACN$,点$M的对应点为点N$,连接$MN$,则下列结论一定正确的是(B)

A.$AB = AN$
B.$\angle AMN = \angle ACN$
C.$AB// NC$
D.$MN\perp AC$

答案： B

7. 如图,将矩形$ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB'C'D'$,连接$CC'$,使点$B'落在CC'$上,$AB'交CD于点H$.若$AB = 4$,$AD = 3$,则$AH$的长为$\frac{25}{8}$.

答案： $\frac{25}{8}$

8. 如图,在正方形$ABCD$中,$E是AD$的中点,$F是BA$延长线上一点,且$AF = \frac{1}{2}AB$.
(1)在图中,可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法,使$\triangle ABE移到\triangle ADF$的位置？
(2)指出线段$BE与DF$之间的关系.

答案： 解:
(1)△ABE绕点A逆时针旋转90度得到△ADF.
(2)BE=DF且BE⊥DF.如图，延长BE交DF于点G,由旋转的性质可知对应线段相等,BE=DF,∠AEB=∠F,
　又因为∠AEB+∠ABE=90°,所以∠ABE+∠F=90°,∠BGF=90°,所以BE⊥DF.

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = \sqrt{2}$,$\angle BAC = 45^{\circ}$,将$\triangle ABC绕点A按顺时针方向旋转得到\triangle AEF$,连接$BE$,$CF相交于点D$.
(1)求证：$BE = CF$.
(2)当四边形$ACDE$为菱形时,求$BD$的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC.
∵AB=AC,
∴AE=AF,且∠EAB=∠FAC,AB=AC,
∴△AEB≌△AFC(SAS),
∴BE=CF.
(2)
∵四边形ACDE为菱形,AB=AC=$\sqrt{2}$,
∴DE=AE=AC=AB=$\sqrt{2}$,AC//DE,
∴∠AEB=∠ABE,∠ABE=∠BAC=45°,
∴∠AEB=∠ABE=45°,
∴△ABE为等腰直角三角形,
∴BE=$\sqrt{2}$AB=2,
∴BD=BE−DE=2 - $\sqrt{2}$