《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

1. 有一座拱桥的桥拱是抛物线形状,其表达式为 $y = -\frac{1}{4}x^2$,当桥下水面的宽为 $12m$ 时,水面到拱桥拱顶的距离为(D)
A.$3m$
B.$2\sqrt{6}m$
C.$4\sqrt{3}m$
D.$9m$

答案： D

2. 有一个门洞为抛物线形,以门洞底部所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系,抛物线所对应的函数关系式为 $y = -2x^2 + 3$,则在 $2m$ 高处门洞的宽为(D)
A.$2m$
B.$1m$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}m$
D.$\sqrt{2}m$

答案： D

3. 如图,某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为 $8m$,两侧距地面 $3m$ 高处各有一个壁灯,两壁灯之间的水平距离为 $6m$,则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计,精确到 $0.1m$)(A)

A.$6.9m$
B.$7.0m$
C.$7.1m$
D.$6.8m$

答案： A

4. 一个涵洞呈抛物线形,它的截面如图所示,通过测量,当水面宽 $AB = 1.6m$ 时,涵洞顶点与水面的距离为 $2.4m$。这时,离开水面 $1.5m$ 处,涵洞的宽 $ED$ 是多少？是否会超过 $1m$？

答案： 解:以抛物线的顶点为原点，过原点平行于$AB$的直线作$x$轴，然后垂直$x$轴，作出$y$轴，建立如图所示的平面直角坐标系。设涵洞的抛物线的解析式为$y=ax^{2}$，由于其过点$(0.8,-2.4)$，代入解析式，解得$a=\dfrac{-2.4}{0.64}=-\dfrac{15}{4}$。当离开水面$1.5m$处时，此时$y=-0.9$，代入，得$x^{2}=\dfrac{6}{25}$，则$x=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{5}$，涵洞宽$ED=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\approx0.98m$，所以不会超过$1m$。

5. 有一座抛物线形拱桥,其最大高度为 $9m$,现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中,则此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{25}(x-15)^{2}+9$,其中自变量 $x$ 的取值范围是$0\leqslant x\leqslant30$。

答案： $y=-\dfrac{1}{25}(x-15)^{2}+9$ $0\leqslant x\leqslant30$

6. 一座隧道的横截面由抛物线和矩形构成,矩形的长为 $8m$,宽为 $2m$,隧道最高点 $P$ 位于 $AB$ 的中央且距地面 $6m$,建立如图所示的平面直角坐标系。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 一辆货车的高为 $4m$,宽为 $2m$,能否从该隧道内通过？为什么？
(3) 如果隧道内设双行道,(2) 中的货车是否可以通过？为什么？

答案： 解:
(1)由题意可知抛物线经过点$A(0,2)$，$P(4,6)$，$B(8,2)$，设抛物线的函数解析式为$y=ax^{2}+bx+c$，将$A$，$P$，$B$三点的坐标代入$y=ax^{2}+bx+c$，解关于$a$，$b$，$c$的方程组，可得这个抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+2x+2$。
(2)令$y=4$，则$-\dfrac{1}{4}x^{2}+2x+2=4$，解得$x_{1}=4 + 2\sqrt{2}$，$x_{2}=4 - 2\sqrt{2}$，则$|x_{1}-x_{2}|=4\sqrt{2}＞2$，即货车的宽度小于隧道上高度为$4m$的两点之间的距离，由此可知，货车能通过。
(3)由
(2)可知$\dfrac{1}{2}|x_{2}-x_{1}|=2\sqrt{2}＞2$，因此，货车可以通过。