《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

1. 根据下表中的对应值判断：

方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0,a,b,c $ 为常数)的一个解 $ x $ 的取值范围是(C)
A.$ 3 ＜ x ＜ 3.23 $
B.$ 3.23 ＜ x ＜ 3.24 $
C.$ 3.24 ＜ x ＜ 3.25 $
D.$ 3.25 ＜ x ＜ 3.26 $

答案： C

2. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图所示,则下列结论：① $ b^{2} - 4ac ＞ 0 $；② $ 3 $ 是方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的一个根；③当 $ -1 ＜ x ＜ 3 $ 时,$ y ＜ 0 $；④当 $ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $ 时,$ y ＜ 0 $。其中错误的是③。

答案： ③

3. 已知函数 $ y = x^{2} - mx + m - 2 $。
(1)求证：不论 $ m $ 为何实数,此二次函数的图象与 $ x $ 轴都有两个不同的交点。
(2)若 $ m = 2 $,求函数图象与 $ x $ 轴的交点坐标。
方法归纳交流 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $,当b²-4ac＞0时,抛物线与 $ x $ 轴有两个交点；当b²-4ac=0时,抛物线与 $ x $ 轴有一个交点；当b²-4ac＜0时,抛物线与 $ x $ 轴没有交点。
(1)证明:
∵b²-4ac=m²-4(m-2)=(m-2)²+4＞0，故二次函数的图象与x轴恒有2个不同的交点.
(2)当m=2时,y=x²-2x,其图象与x轴的交点为(0,0),(2,0).

答案： 解:
(1)证明:
∵b²-4ac=m²-4(m-2)=(m-2)²+4＞0，故二次函数的图象与x轴恒有2个不同的交点.
(2)当m=2时,y=x²-2x,其图象与x轴的交点为(0,0),(2,0).方法归纳交流 b²-4ac＞0 b²-4ac=0 b²-4ac＜0

4. 如图,直线 $ y = -\frac{3}{4}x + 3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ C $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,抛物线 $ y = ax^{2} + \frac{3}{4}x + c $ 经过 $ B,C $ 两点。
(1)求抛物线的解析式。
(2)如图,$ E $ 是抛物线上的一动点(不与 $ B,C $ 两点重合),$ \triangle BEC $ 的面积记为 $ S $,当 $ S $ 取何值时,对应的点 $ E $ 有且只有三个？

答案： 解:
(1)当x=0时,y=-$\frac{3}{4}$x+3=3,则B(0,3),当y=0时,-$\frac{3}{4}$x+3=0,解得x=4,则C(4,0),把B(0,3),C(4,0)代入y=ax²+$\frac{3}{4}$x+c得$\begin{cases}a=-\frac{3}{8}\\c=3\end{cases}$
∴该抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3.
(2)当点E在直线BC的下方的抛物线上时,一定有两个对应的点E满足△BEC的面积为S，
∴当点E在直线BC的上方的抛物线上时,只能有一个对应的点E满足△BEC的面积为S，即此时过点E的直线与抛物线只有一个公共点，设此时直线解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+b，方程组$\begin{cases}y=-\frac{3}{4}x+b\\y=-\frac{3}{8}x²+\frac{3}{4}x+3\end{cases}$只有一组解，方程-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3=-$\frac{3}{4}$x+b有两个相等的实数解，则Δ=12²-4×3×(-24+8b)=0,解得b=$\frac{9}{2}$,解方程得x₁=x₂=2，
∴点E的坐标为(2,2)，此时S△BEC=$\frac{1}{2}$×4×(3-$\frac{3}{2}$)=3，
∴当S=3时,对应的点E有且只有三个.