《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

7. 下列方程中,不适合用因式分解法求解的是(D)
A.$x^2 = \sqrt{2}x$
B.$(x - 2)^2 = 2x - 4$
C.$4x^2 + 4x + 1 = 0$
D.$(x + 2)(3x - 1) = 5$

答案： D

8. 若关于$x的一元二次方程x^2 - mx + n = 0的两根为-1$和 3,则将$x^2 - mx + n$进行因式分解的结果是(x+1)(x-3).

答案： (x+1)(x-3)

9. 若$n是关于x的方程x^2 + mx + n = 0$的根($n \neq 0$),则$m + n$的值为-1.

答案： -1

10. 用因式分解法解方程$x^2 - px - 6 = 0$,将左边分解后有一个因式是$x + 3$,则$p$的值是-1.

答案： -1

11. 用适当的方法解下列方程.
(1)$\frac{x^2}{4} + \frac{5}{2}x - 6 = 0$；
(2)$49(x - 3)^2 = 16(x + 6)^2$；
(3)$(x + 1)^2 = 3x + 2$.

答案： 解:
(1)方程两边同时乘4,得x²+10x-24=0,解得x₁=-12,x₂=2.
(2)原方程可化为[7(x-3)]²=[4(x+6)]²,即7(x-3)=4(x+6)或7(x-3)=-4(x+6),所以x₁=15,x₂=-$\frac{3}{11}$.
(3)原方程可化为x²-x-1=0,b²-4ac=5,解得x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

12. 阅读材料：为解方程$(x^2 - 1)^2 - 3(x^2 - 1) = 0$,我们可以将$x^2 - 1$视为一个整体,然后设$x^2 - 1 = y$,将原方程化为$y^2 - 3y = 0$①,解得$y_1 = 0$,$y_2 = 3$.
当$y = 0$时,$x^2 - 1 = 0$,$x^2 = 1$,$\therefore x = \pm 1$.
当$y = 3$时,$x^2 - 1 = 3$,$x^2 = 4$,$\therefore x = \pm 2$.
故原方程的解为$x_1 = 1$,$x_2 = -1$,$x_3 = 2$,$x_4 = -2$.
解答问题：
(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到降次的目的,体现了转化的数学思想.
(2)利用上述材料中的方法解方程：$(x^2 + 3)^2 - 4(x^2 + 3) = 0$.
解：设$x^2 + 3 = y$，将原方程化为$y^2 - 4y = 0$，解得$y_1 = 0$，$y_2 = 4$。当$y = 0$时，$x^2 + 3 = 0$，$x^2 = -3$，∴方程无解；当$y = 4$时，$x^2 + 3 = 4$，$x^2 = 1$，∴$x = \pm 1$。故原方程的解为$x_1 = 1$，$x_2 = -1$。

答案： 解:
(1)换元;转化.
(2)设x²+3=y,将原方程化为y²-4y=0,解得y₁=0,y₂=4.当y=0时,x²+3=0,x²=-3,
∴方程无解;当y=4时,x²+3=4,x²=1,
∴x=±1.故原方程的解为x₁=1,x₂=-1.