《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

1. 用配方法解下列方程.
(1)$x^2 - x - 6 = 0$；
(2)$2x^2 + 4x - 9 = 0$；
(3)$3x^2 - 2x - 3 = 0$；
(4)$2x^2 - 4x + 3 = 0$.
方法归纳交流 用配方法解一元二次方程$ax^2 + bx = n$,首先把二次项系数转化成1,然后方程的两边同时加上一次项系数一半的平方.
解:
(1)$x^{2}-x=6$,$\therefore (x-\frac{1}{2})^{2}=\frac{25}{4}$,$\therefore x_{1}=3$,$x_{2}=-2$.
(2)$x_{1}=\frac{\sqrt{22}}{2}-1$,$x_{2}=-\frac{\sqrt{22}}{2}-1$.
(3)$x_{1}=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$,$x_{2}=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$.
(4)移项,得$2x^{2}-4x=-3$,两边都除以 2,得$x^{2}-2x=-\frac{3}{2}$,配方,得$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{2}$,$\therefore (x-1)^{2}=-\frac{1}{2}$.$\because (x-1)^{2}\geqslant 0$,而$-\frac{1}{2}＜0$,$\therefore$原方程无实数根.

答案： 解:
(1)$x^{2}-x=6$,$\therefore (x-\frac{1}{2})^{2}=\frac{25}{4}$,$\therefore x_{1}=3$,$x_{2}=-2$.
(2)$x_{1}=\frac{\sqrt{22}}{2}-1$,$x_{2}=-\frac{\sqrt{22}}{2}-1$.
(3)$x_{1}=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$,$x_{2}=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$.
(4)移项,得$2x^{2}-4x=-3$,两边都除以 2,得$x^{2}-2x=-\frac{3}{2}$,配方,得$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{2}$,$\therefore (x-1)^{2}=-\frac{1}{2}$.$\because (x-1)^{2}\geqslant 0$,而$-\frac{1}{2}＜0$,$\therefore$原方程无实数根. 方法归纳交流 1 一次 一半 平方

(1)$x^2 - 8x + 1 = 0$；
(2)$2x^2 + 1 = 3x$；
(3)$3x^2 - 6x + 4 = 0$.

答案： 解:
(1)$x^{2}-8x=-1$,$x^{2}-8x+16=15$,$(x-4)^{2}=15$,$x-4=\pm \sqrt{15}$,$\therefore x_{1}=4+\sqrt{15}$,$x_{2}=4-\sqrt{15}$.
(2)$2x^{2}-3x=-1$,$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$,$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{1}{16}$,$x-\frac{3}{4}=\pm \frac{1}{4}$,$\therefore x_{1}=1$,$x_{2}=\frac{1}{2}$.
(3)$3x^{2}-6x=-4$,$x^{2}-2x+1=-\frac{4}{3}+1$,$(x-1)^{2}=-\frac{1}{3}$,此方程无实数解.

2. 已知$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 10 = 0$,$x$,$y$为实数,则$x = $3,$y = $-1.
方法归纳交流 利用配方法可以把方程左边变为两个非负数的和的形式,再利用非负数的性质即可求解.
变式演练 试说明代数式$x^2 - 6x + 12$的值不小于3.
解:将$x^{2}-6x+12$配方,得$x^{2}-6x+9-9+12$,即$(x-3)^{2}+3$.因为$(x-3)^{2}\geqslant 0$,所以$(x-3)^{2}+3\geqslant 3$.所以代数式$x^{2}-6x+12$的值不小于 3.

答案： 3 -1 方法归纳交流 非负 非负 变式演练 解:将$x^{2}-6x+12$配方,得$x^{2}-6x+9-9+12$,即$(x-3)^{2}+3$.因为$(x-3)^{2}\geqslant 0$,所以$(x-3)^{2}+3\geqslant 3$.所以代数式$x^{2}-6x+12$的值不小于 3.

1. 将方程$3x^2 - 2x - \frac{7}{3} = 0$配方,正确的是(A)
A.$(x - \frac{1}{3})^2 = \frac{8}{9}$
B.$(x - \frac{1}{3})^2 = -\frac{8}{9}$
C.$(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{5}{9}$
D.$(x - \frac{2}{3})^2 = 1$

答案： A

2. 已知等腰$\triangle ABC的三边长a$,$b$,$c$均为整数,且满足$a^2 + b^2 = 4a + 10b - 29$,求$\triangle ABC$的周长.

答案： 解:$\because a^{2}+b^{2}=4a+10b-29$,$\therefore a^{2}-4a+4+b^{2}-10b+25=0$,$\therefore (a-2)^{2}+(b-5)^{2}=0$,$\therefore a=2$,$b=5$.$\because \triangle ABC$为等腰三角形,$\therefore c=5$,$\therefore \triangle ABC$的周长为$5+5+2=12$.