《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

1. 如图,这是某地一座抛物线形拱桥示意图,拱桥在竖直平面内,与水平桥面相交于 $A$、$B$ 两点,桥拱最高点 $C$ 到 $AB$ 的距离为 $9m$,$AB = 36m$,$D$,$E$ 为桥拱底部的两点,且 $DE // AB$,点 $E$ 到直线 $AB$ 的距离为 $7m$,则 $DE$ 的长为48$m$。

答案： 48

2. 图 1 是某河上一座拱桥的截面图,拱桥洞的上沿是抛物线形状,抛物线的两端点与水面的距离都是 $1m$,拱桥的跨度是 $10m$,桥洞与水面的最大距离是 $5m$,桥洞的两侧壁上各有一盏距离水面 $4m$ 的景观灯,把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中如图 2 所示。
(1) 求抛物线的函数解析式。
(2) 求两盏景观灯之间的水平距离。

答案： 解:
(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为$(5,5)$，与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$。设抛物线的函数解析式为$y=a(x-5)^{2}+5$。把$(0,1)$代入解析式，得$a=-\dfrac{4}{25}$，$\therefore y=-\dfrac{4}{25}(x-5)^{2}+5(0\leqslant x\leqslant10)$。
(2)由已知得两盏景观灯的纵坐标都是4，$\therefore -\dfrac{4}{25}(x-5)^{2}+5=4$，解得$x_{1}=\dfrac{15}{2}$，$x_{2}=\dfrac{5}{2}$，$\therefore$两盏景观灯之间的水平距离为$\dfrac{15}{2}-\dfrac{5}{2}=5m$。

在现实生活中,抛物线形状的物体或物体运动的轨迹是抛物线形的,这类问题一般可以用二次函数的有关知识来解决。

答案： 二次函数

如图,这是抛物线形拱桥,此时拱顶离水面的距离为 $8$ 米,水面宽 $AB$ 为 $12$ 米。当水面上升 $6$ 米时达到警戒水位,此时拱桥内的水面宽度是多少米？
下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法,请补充完整：
方法一：如图 1,以 $A$ 为原点,$AB$ 所在直线为 $x$ 轴,建立平面直角坐标系,此时点 $B$ 的坐标为$(12,0)$,抛物线的顶点坐标为$(6,8)$,可求出抛物线的解析式为$y=-\dfrac{2}{9}x^{2}+\dfrac{8}{3}x$。当 $y = 6$ 时,即可求出此时拱桥内的水面宽度为6米。
方法二：如图 2,以抛物线顶点为原点,对称轴为 $y$ 轴,建立平面直角坐标系,这时抛物线的解析式为$y=-\dfrac{2}{9}x^{2}$。当 $y = -2$ 时,即可求出此时拱桥内的水面宽度为6米。

答案： 方法一：$(12,0)$　$(6,8)$　$y=-\dfrac{2}{9}x^{2}+\dfrac{8}{3}x$　6 方法二：$y=-\dfrac{2}{9}x^{2}$　6