《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

6. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 如图所示,则关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + c - 8 = 0 $ 的根的情况是(C)

A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根

答案： C

7. 已知抛物线 $ y = x^{2} - x - 1 $ 与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (m,0) $,则代数式 $ m^{2} - m + 2024 $ 的值为(D)
A.$ 2022 $
B.$ 2023 $
C.$ 2024 $
D.$ 2025 $

答案： D

8. 根据下列表格中二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的自变量 $ x $ 与函数 $ y $ 的对应值,判断方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0,a,b,c $ 为常数)的一个解的范围是(C)

A.$ 6 ＜ x ＜ 6.17 $
B.$ 6.17 ＜ x ＜ 6.18 $
C.$ 6.18 ＜ x ＜ 6.19 $
D.$ 6.19 ＜ x ＜ 6.20 $

答案： C

9. 若函数 $ y = (m^{2} - 1)x^{2} + (2m + 1)x + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴只有一个交点,求 $ m $ 的值。

答案： 解:①若函数是二次函数,该图象与x轴只有一个交点,则Δ=0,即(2m+1)²-4(m²-1)=0,4m+5=0,m=-$\frac{5}{4}$;②若函数是一次函数,该图象与x轴只有一个交点,则m²-1=0且2m+1≠0,
∴m=±1.综合①②,m=-$\frac{5}{4}$或-1或1.

10. 如图,直线 $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $ 交 $ y $ 轴于点 $ A $,交 $ x $ 轴于点 $ C $,抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^{2} + bx + c $ 经过点 $ A $,点 $ C $,且交 $ x $ 轴于另一点 $ B $。
(1)求抛物线的解析式。
(2)在直线 $ AC $ 上方的抛物线上有一点 $ M $,求四边形 $ ABCM $ 面积的最大值及此时点 $ M $ 的坐标。

答案：

(1)解:令x=0,得y=-$\frac{1}{2}$x+2=2，
∴A(0,2)，令y=0,得y=-$\frac{1}{2}$x+2=0,解得x=4，
∴C(4,0).把A,C两点代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c,得$\begin{cases}c=2\\-4+4b+c=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=\frac{1}{2}\\c=2\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2.
(2)如图,过点M作MN⊥x轴,与AC交于点N，设M(a,-$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{2}$a+2),则N(a,-$\frac{1}{2}$a+2)，
∴S△ACM=$\frac{1}{2}$·MN·OC=$\frac{1}{2}$(-$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{2}$a+2+$\frac{1}{2}$a-2)×4=-$\frac{1}{2}$a²+2a，S△ABC=$\frac{1}{2}$·BC·OA=$\frac{1}{2}$×(4+2)×2=6，
∴S四边形ABCM=S△ACM+S△ABC=-$\frac{1}{2}$a²+2a+6=-$\frac{1}{2}$(a-2)²+8，
∴当a=2时,四边形ABCM面积最大,最大值为8,此时点M的坐标为(2,2).