《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + (2k - 1)x + k^2 + 1 = 0$,如果方程的两根之和等于两根之积,求 $k$ 的值.

答案： 设方程的两根为x₁,x₂,根据题意得Δ=(2k-1)²-4(k²+1)≥0,解得k≤-3/4.x₁+x₂=-(2k-1)=1-2k,x₁x₂=k²+1.
∵方程的两根之和等于两根之积,
∴1-2k=k²+1,解得k₁=0,k₂=-2,而k≤-3/4,
∴k=-2.

应用根与系数的关系的前提是 $\Delta$≥0.

答案： ≥0

1. 已知 $x_1$,$x_2$ 是方程 $x^2 + 6x + 3 = 0$ 的两实数根,则 $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$ 的值为(D)
A.4
B.6
C.8
D.10

答案： D

2. 若 $\alpha$,$\beta$ 是方程 $x^2 + 2x - 2024 = 0$ 的两个实数根,则 $\alpha^2 + 3\alpha + \beta$ 的值为2022.

答案： 2022

1. 已知一元二次方程 $x^2 + 2x - 7 = 0$ 的两个根为 $x_1$,$x_2$,则 $x_1 + x_2$ 的值是(A)
A.-2
B.2
C.-7
D.7

答案： A

2. 若关于 $x$ 的一元二次方程的两个根为 $x_1 = 1$,$x_2 = 2$,则这个方程可能是(B)
A.$x^2 + 3x - 2 = 0$
B.$x^2 - 3x + 2 = 0$
C.$x^2 - 2x + 3 = 0$
D.$x^2 + 3x + 2 = 0$

答案： B

3. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + px + q = 0$ 的两根分别为 $x_1 = 2$,$x_2 = 3$,那么 $p$,$q$ 的值分别是(A)
A.-5,6
B.6,-5
C.5,-6
D.2,3

答案： A

4. 菱形的两条对角线的长分别是方程 $x^2 - 14x + m = 0$ 的两个实数根,菱形的面积为 24,则菱形的边长为5.

答案： 5

5. 若 $x_1$,$x_2$ 是一元二次方程 $x^2 - 7x + 5 = 0$ 的两根,则 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ 的值是(A)
A.$\frac{7}{5}$
B.$-\frac{7}{5}$
C.$\frac{5}{7}$
D.$-\frac{5}{7}$

答案： A

6. 若 $a$,$b$ 是方程 $x^2 + 2024x - 2025 = 0$ 的两个实数根,则 $a^2 + 2025a + b - ab$ 的值为2026.

答案： 2026

7. 设关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x - 2(k - 1) = 0$ 有两个实数根 $x_1$,$x_2$,问是否存在 $x_1 + x_2 ＜ x_1x_2$ 的情况？

答案： 要使方程有两个实数根,必须Δ≥0,即(-4)²-4×[-2(k-1)]≥0,解得k≥-1,x₁+x₂=4,x₁x₂=-2(k-1),由x₁+x₂＜x₁x₂得4＜-2(k-1),解得k＜-1,
∴不存在x₁+x₂＜x₁x₂的情况.

8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2(a - 1)x + a^2 - a - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_1$,$x_2$.
(1)若 $a$ 为正整数,求 $a$ 的值.
(2)若 $x_1$,$x_2$ 满足 $x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 16$,求 $a$ 的值.

答案：
(1)
∵关于x的一元二次方程x²-2(a-1)x+a²-a-2=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=[-2(a-1)]²-4(a²-a-2)＞0,解得a＜3.
∵a为正整数,
∴a=1或a=2.
(2)
∵x₁+x₂=2(a-1),x₁x₂=a²-a-2,又
∵x₁²+x₂²-x₁x₂=16,
∴(x₁+x₂)²-3x₁x₂=16,
∴[2(a-1)]²-3(a²-a-2)=16,解得a₁=-1,a₂=6.
∵a＜3,
∴a=-1.