《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

1. 一个二次函数的图象的顶点坐标是 $ (2,4) $,且过点 $ (0,-4) $,则这个二次函数的解析式为(B)
A.$ y = -2(x + 2)^2 + 4 $
B.$ y = -2(x - 2)^2 + 4 $
C.$ y = 2(x + 2)^2 - 4 $
D.$ y = 2(x - 2)^2 + 4 $

答案： B

2. 若抛物线经过 $ (0,1) $,$ (-1,0) $,$ (1,0) $ 三点,则此抛物线的解析式为(C)
A.$ y = x^2 + 1 $
B.$ y = x^2 - 1 $
C.$ y = -x^2 + 1 $
D.$ y = -x^2 - 1 $

答案： C

3. 已知抛物线的顶点是 $ (-3,2) $,且经过点 $ (1,-14) $,求该抛物线的解析式.

答案： 解:
∵抛物线的顶点是(-3,2),
∴可设抛物线的解析式为y=a(x+3)²+2.
∵抛物线经过点(1,-14),
∴-14=a(1+3)²+2,解得a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x+3)²+2.

4 某二次函数的图象如图所示,则其解析式为(B)

A.$ y = x^2 - 2x + 3 $
B.$ y = x^2 - 2x - 3 $
C.$ y = x^2 + 2x + 3 $
D.$ y = x^2 + 2x - 3 $

答案： B

5. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,已知抛物线经过点 $ A(3,0) $,$ B(2,-3) $,$ C(0,-3) $.
(1) 求该抛物线的解析式.
(2) $ D $ 与 $ E $ 是抛物线上关于对称轴对称的两点,如果点 $ D $ 的横坐标为 $ -2 $,试求点 $ E $ 的坐标.

答案： 解:
(1)设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c,
由题意得9a+3b+c=0,4a+2b+c=-3,c=-3.
∴a=1,b=-2,
∴该抛物线的函数解析式为y=x²-2x-3.
(2)由
(1)得y=x²-2x-3.
∴该抛物线的对称轴是直线x=1.
∵D与E是抛物线上关于对称轴对称的两点,点D的横坐标为-2,
∴点E的横坐标是4,
∴当x=4时,y=16-8-3=5,
∴E(4,5).

6. 已知关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象过点 $ (-1,0) $,$ (3,0) $.
(1) 求这个二次函数的解析式.
(2) 求当 $ -2 \leq x \leq 2 $ 时,$ y $ 的最大值与最小值的差.
(3) 若点 $ P(-3,y_1) $,$ Q(q,y_2) $ 在该二次函数的图象上,且 $ y_1 ＜ y_2 $,求 $ q $ 的取值范围.

答案： 解:
(1)由题意得1-b+c=0,
9+3b+c=0,
解得b=-2,
c=-3,
∴这个二次函数的解析式为y=x²-2x-3.
(2)
∵y=x²-2x-3=(x-1)²-4,
∴当x=1时,y有最小值-4.
∵当x=-2时,y=5;当x=2时,y=-3,
∴当-2≤x≤2时,y的最大值与最小值的差为5-(-4)=9.
(3)
∵P(-3,y₁)在y=x²-2x-3上,
∴y₁=12,
令y=12,可得x²-2x-3=12,
解得x=5或x=-3.
∵y=x²-2x-3的图象开口向上,且y₁＜y₂,
∴q的取值范围为q＜-3或q＞5.