《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

2. 如图,在$⊙O$中,弦$AB= 3\mathrm{cm}$,点$C在⊙O$上,$∠ACB= 30^{\circ}$。求$⊙O$的直径。

解:(法一)如图1,连接OA,OB.
∵∠ACB=30°,
∴∠AOB=60°.
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=3cm,即圆的直径为6cm.
(法二)如图2,连接AO并延长交⊙O于点D,连接BD.
∵AD是直径,
∴∠ABD=90°.
∵∠D=∠C=30°,
∴AD=2AB=6cm.
变式演练 如图,$AB是⊙O$的直径,$BD是⊙O$的弦,延长$BD到点C$,使$AC= AB$,$BD与CD$的大小有什么关系？为什么？

解:连接AD
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。
∵AC=AB，
∴AD是BC的中线，
∴BD=CD。
方法归纳交流 一般地,如果题目中有直径出现时,常作辅助线得到直径所对的圆周角——直角。当圆中要证明垂直或得到$90^{\circ}$的角时,常作出直径。

答案： 解:(法一)如图1,连接OA,OB.
∵∠ACB=30°,
∴∠AOB=60°.
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=3cm,即圆的直径为6cm.
(法二)如图2,连接AO并延长交⊙O于点D,连接BD.
∵AD是直径,
∴∠ABD=90°.
∵∠D=∠C=30°,
∴AD=2AB=6cm.
变式演练 解:
(1)证明:如图，连接AB,AP.
∵AP=AB,
∴∠ABP=∠P.
∵BC为⊙O直径，
∴∠BAC=90°.
又AD⊥BC,可证∠BAE=∠C.
∵∠C=∠P,
∴∠BAE=∠P,
∴∠ABE=∠BAE,
∴AE=BE.
(2)当点P在使$\overset{\frown}{PC}=\overset{\frown}{AB}$的位置时,有AF=EF.
证明:
∵$\overset{\frown}{PC}=\overset{\frown}{AB}$,
∴∠EBD=∠C.
∵∠FAE=90°−∠C,∠AEF=∠BED=90°−∠EBD,
∴∠FAE=∠AEF,AF=EF.
方法归纳交流 直角 直径

1. 如图,在$⊙O$中,$OC⊥AB$,$∠APC= 28^{\circ}$,则$∠BOC$的度数为(D)

A.$14^{\circ}$
B.$28^{\circ}$
C.$42^{\circ}$
D.$56^{\circ}$

答案： D

2. 从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中,可判断圆弧为半圆的是(B)

答案： B

3. 如图,点$A$,$B$,$C在⊙O$上,$D是\overset{\frown}{AB}$的中点,$CD交OB于点E$。若$∠AOB= 120^{\circ}$,$∠OBC= 50^{\circ}$,则$∠OEC$的度数为80$^{\circ}$。

答案： 80