《2025年资源与评价黑龙江教育出版社九年级数学上册人教版》

5. 用公式法解下列方程：
(1)$ x^{2}+2x-1= 0 $.
(2)$ 16x^{2}+8x= 3 $.

答案： 1. （1）
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}+2x - 1 = 0$中，$a = 1$，$b = 2$，$c=-1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
把$a = 1$，$b = 2$，$c=-1$代入$\Delta$，得$\Delta=2^{2}-4×1×(-1)$
即$\Delta = 4 + 4=8$。
再代入求根公式：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$。
所以$x_{1}=-1+\sqrt{2}$，$x_{2}=-1 - \sqrt{2}$。
2. （2）
先将方程$16x^{2}+8x = 3$化为一般形式$16x^{2}+8x - 3 = 0$。
此时$a = 16$，$b = 8$，$c=-3$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
把$a = 16$，$b = 8$，$c=-3$代入$\Delta$，得$\Delta=8^{2}-4×16×(-3)$
即$\Delta = 64+192 = 256$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{-8\pm\sqrt{256}}{2×16}=\frac{-8\pm16}{32}$。
当$x=\frac{-8 + 16}{32}$时，$x=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}$；
当$x=\frac{-8-16}{32}$时，$x=\frac{-24}{32}=-\frac{3}{4}$。
综上，（1）$x_{1}=-1+\sqrt{2}$，$x_{2}=-1 - \sqrt{2}$；（2）$x_{1}=\frac{1}{4}$，$x_{2}=-\frac{3}{4}$。

6. 关于 $ x $ 的方程 $ mx^{2}-4x+1= 0 $ 的根为(D)
A.$ \frac{1}{4} $
B.$ \frac{2\pm\sqrt{4-m}}{m} $
C.$ \frac{2+\sqrt{4-m}}{m} $
D.以上答案都不对

答案： D

7. 下列判断正确的是(A)

A.在 $ ax^{2}+bx+c= 0 $ 中,如果 $ a\neq 0,c= 0 $,那么此方程一定有一个根是零
B.一元二次方程 $ x^{2}-4x+4= 0 $ 只有一个实数根
C.方程 $ x^{2}+bx+c= 0 $ 的两个实数根是 $ -b\pm\sqrt{b^{2}-4c} $
D.$ x^{2}-12= 0 $ 的两根是 $ x= \pm 3\sqrt{2} $

答案： A

8. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB= 90^{\circ},BC= a,AC= b $. 以点 $ B $ 为圆心,$ BC $ 的长为半径画弧,交线段 $ AB $ 于点 $ D $,以点 $ A $ 为圆心,$ AD $ 的长为半径画弧,交线段 $ AC $ 于点 $ E $. 下列选项中,线段的长度是方程 $ x^{2}+2ax-b^{2}= 0 $ 的一个根的是(B)

A.线段 $ BC $ 的长
B.线段 $ AD $ 的长
C.线段 $ EC $ 的长
D.线段 $ AC $ 的长

答案： B

9. 在平面直角坐标系中,直线 $ y= x+a $ 不经过第二象限,则关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2}+2x+1= 0 $ 的实数解有1或2个.

答案： 1或2

10. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(k+3)x+2k+2= 0 $.
(1)求证：方程总有两个实数根.
(2)若方程有一根小于 $ 1 $,求 $ k $ 的取值范围.

答案： 解:
(1)证明:在方程x²-(k+3)x+2k+2=0中,Δ=[-(k+3)]²-4×1×(2k+2)=k²-2k+1=(k-1)²≥0,
∴方程总有两个实数根.
(2)
∵x²-(k+3)x+2k+2=0,
∴x₁=2,x₂=k+1.
∵该方程有一个根小于1,
∴k+1＜1,解得k＜0,
∴k的取值范围为k＜0.

11. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x+2k-4= 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $ k $ 的取值范围.
(2)若 $ k $ 为正整数,且该方程的根都是整数,求 $ k $ 的值.

答案： $(1)$求$k$的取值范围
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}+2x + 2k-4 = 0$中，$a = 1$，$b = 2$，$c = 2k - 4$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$。
即$\Delta=2^{2}-4×1×(2k - 4)＞0$，
展开式子得$4-8k + 16＞0$，
合并同类项得$20-8k＞0$，
移项得$8k＜20$，
两边同时除以$8$得$k＜\frac{5}{2}$。
$(2)$求$k$的值
解：因为$k$为正整数且$k＜\frac{5}{2}$，所以$k = 1$或$k = 2$。
当$k = 1$时，方程为$x^{2}+2x - 2 = 0$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，$\Delta = 2^{2}-4×1×(-2)=4 + 8 = 12$，$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$，根不是整数。
当$k = 2$时，方程为$x^{2}+2x=0$，
提取公因式$x$得$x(x + 2)=0$，
则$x = 0$或$x + 2 = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-2$，根是整数。
综上，$(1)$$k$的取值范围是$k＜\frac{5}{2}$；$(2)$$k$的值为$2$。