《2025年高分突破课时达标讲练测七年级数学上册北师大版》

9. 任何一个正整数$n$都可以进行这样的分解：$n = p× q$（$p,q$是正整数且$p\leq q$），如果$p× q$在$n$的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称$p× q$是$n$的最佳分解，并规定：$S(n)=\frac{p}{q}$，例如18可以分解成$1×18,2×9$或$3×6$，则$S(18)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；例如35可以分解成$1×35,5×7$，则$S(35)=\frac{5}{7}$。则$S(128)$的值是（ ）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{32}$

答案： A

10. (1) 已知$|x|=0.19,|y|=0.99$，且$\frac{x}{y}＜0$，则$x + y$的值是______；
(2) 已知$|a|=2,|b|=3$，且$\frac{a}{b}＞0$，则$\frac{a - b}{a - 3}$的值为______。

答案：
(1)$\pm 0.8$；
(2)$-\frac{1}{5}$或1

11. 【阅读材料】
当有理数$x$不等于0时，把2个相同的有理数$x$的除法运算记作$f(2,x)=x÷ x$；把3个相同的有理数$x$的除法运算记作$f(3,x)=x÷ x÷ x$；把4个相同的有理数$x$的除法运算记作$f(4,x)=x÷ x÷ x÷ x$；把5个相同的有理数$x$的除法运算记作$f(5,x)=x÷ x÷ x÷ x÷ x$；…。特别地，规定$f(1,x)=x$。
【解决问题】
(1) 若$f(n,-2)=(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$，则$n=$______；
(2) 计算$f\left(5,\frac{1}{3}\right)$的结果是______；
(3) 计算：$f\left(2,\frac{1}{4}\right)÷ f(3,-3)÷ f(1,-1)$。

答案：
(1)4；
(2)27；
(3)3

12. 1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，那么对它乘3再加1；如果它是偶数，那么对它除以2。如此循环，最终都能够得到1。这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”。虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，经过下面5步运算可得1，即：$5\xrightarrow{×3+1}16\xrightarrow{÷2}8\xrightarrow{÷2}4\xrightarrow{÷2}2\xrightarrow{÷2}1$。若正整数$m$恰好经过6步运算可得到1，则$m$的值为______。

答案： 10或64

13. 阅读材料：
已知$x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{2024}$都是不等于0的有理数，若$y_1=\frac{|x_1|}{x_1}$，求$y_1$的值。
解：当$x_1＞0$时，$y_1=\frac{|x_1|}{x_1}=\frac{x_1}{x_1}=1$；
当$x_1＜0$时，$y_1=\frac{|x_1|}{x_1}=\frac{-x_1}{x_1}=-1$，所以$y_1=\pm1$。
解答下列问题：
(1) 若$y_2=\frac{|x_1|}{x_1}+\frac{|x_2|}{x_2}$，则$y_2$的值为______；
(2) 若$y_3=\frac{|x_1|}{x_1}+\frac{|x_2|}{x_2}+\frac{|x_3|}{x_3}$，则$y_3$的值为______；
(3) 由以上探究猜想，$y_{2025}=\frac{|x_1|}{x_1}+\frac{|x_2|}{x_2}+\frac{|x_3|}{x_3}+\ldots+\frac{|x_{2025}|}{x_{2025}}$，共有______个不同的值；
(4) 应用：如果$a,b,c$是非零有理数，且$a + b + c=0$，那么$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}$的所有可能的值为______。

答案：
(1)$\pm 2$或0；
(2)$\pm 3$或$\pm 1$；
(3)2026；
(4)0