《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

6.「2025山东青岛大学附中,★☆」如图,点$D$、$E$、$F分别是AB$、$BC$、$AC$的中点,连接$DE$、$EF$、$AE$、$DF$.
(1)求证：$AE$,$DF$互相平分.
(2)现有三个条件：①$\angle BAC = 90^{\circ}$；②$AE平分\angle BAC$；③$AE\perp BC$.
请你从中选择两个条件(写序号)：①③,使得四边形$ADEF$是正方形,并加以证明.

答案：
(1)证明:
∵ D、E、F分别是AB,BC,AC的中点,
∴ DE、EF都是△ABC的中位线,
∴ DE//AC,EF//AB,
∴ 四边形ADEF为平行四边形,
∴ AE与DF互相平分.
(2)答案不唯一.可选择①③,证明如下:
∵ 四边形ADEF为平行四边形,∠BAC=90°,
∴ 四边形ADEF是矩形,
∵ 点D、F分别是AB、AC的中点,
∴ DF是△ABC的中位线,
∴ DF//BC,
∵ AE⊥BC,
∴ AE⊥DF,
∴ 四边形ADEF是正方形.

7.「2024甘肃武威期末,★☆」已知：如图1,在正方形$ABCD$中,$E$,$F分别是BC$,$CD$上的点,$AE$、$BF相交于点P$,并且$AE = BF$.

(1)判断$AE和BF$的位置关系,并说明理由.
(2)如图2,$DN\perp AE$,$FM\perp DN$,点$F在线段CD$上运动时(点$F不与点C$、$D$重合),四边形$FMNP$能否成为正方形？请说明理由.

答案：
(1)AE⊥BF.理由:
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB=BC,∠ABC=∠C=90°.在Rt△ABE和Rt△BCF中,AE=BF,AB=BC,
∴ Rt△ABE≌Rt△BCF(HL),
∴ ∠BAE=∠CBF,
∵ ∠BAE+∠BEA=90°,
∴ ∠CBF+∠BEA=90°,
∴ ∠BPE=90°,
∴ AE⊥BF.
(2)四边形FMNP不能成为正方形.理由如下:
∵ FM⊥DN,DN⊥AE,且由
(1)知AE⊥BF,
∴ 四边形FMNP是矩形.
∵ ∠BAP+∠NAD=∠NAD+∠ADN=90°,
∴ ∠BAP=∠ADN,在△BAP和△ADN中,$\left\{\begin{array}{l} ∠APB=∠DNA=90°,\\ ∠BAP=∠ADN,\\ AB=DA,\end{array}\right. $
∴ △BAP≌△ADN(AAS),
∴ BP=AN,AP=DN.
∵ AE=BF,
∴ AE-AN=BF-BP,
∴ EN=PF,
∵ 点F在线段CD上运动(点F不与点C、D重合),
∴ P、E不重合,
∴ PN≠PF,
∴ 四边形FMNP不能成为正方形.

8.新课标 创新意识 新定义题 我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”.
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为$m^{\circ}$,$n^{\circ}$,若我们将菱形的“接近度”定义为$|m - n|$,则：
①当菱形的一个内角为$75^{\circ}$时,“接近度”=30；
②当菱形的“接近度”=0时,菱形为正方形.
(2)设菱形相邻两个内角的度数分别为$m^{\circ}$,$n^{\circ}$,若我们将菱形的“接近度”定义为$\frac{m}{n}(m\leqslant n)$,则：
①当菱形的一个内角为$45^{\circ}$时,“接近度”=$\frac{1}{3}$；
②当菱形的“接近度”=1时,菱形为正方形.
(3)小军同学给出了如下矩形的“接近度”的定义：设矩形相邻两边的长分别是$a和b(a\leqslant b)$,将矩形的“接近度”定义为$\frac{a}{b}$,于是$\frac{a}{b}$越小,矩形越接近正方形.
你认为他的定义不合理(填“合理”或“不合理”),并说明理由.

答案：
(1)①30 ②0
(2)①$\frac{1}{3}$ ②1
(3)不合理.理由:当$\frac{a}{b}$=1时,a=b,矩形变为正方形,
∴ $\frac{a}{b}$越接近1,矩形越接近正方形,即只有矩形的“接近度”$\frac{a}{b}$越接近1,矩形才越接近正方形.