《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

5.「2025山西大同期中,★☆」2024年9月10日是我国第40个教师节,今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神,加快建设教育强国”,我市某学校为教师定制了水杯,如图所示的是定制的水杯包装盒的表面展开图,已知该包装盒的长为15cm,设包装盒的高为x cm。
(1)若此包装盒的体积为$1500cm^3,$请列出关于x的方程,并求出x的值。
(2)是否存在这样的x的值,使得此包装盒的体积为$1560cm^3？$若存在,请求出相应的x的值；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)已知包装盒的高为x cm,长为15 cm,由题图得包装盒的宽为$\frac{40 - 2x}{2}$=(20 - x)cm,
∵此包装盒的体积为1500 cm³,
∴(20 - x)×15x = 1500,解得x₁ = x₂ = 10,
∴x的值为10.
(2)不存在.理由如下:依题意得(20 - x)×15x = 1560.整理得x² - 20x + 104 = 0,
∵Δ = ( - 20)² - 4×104 = - 16＜0,
∴此方程没有实数根,
∴不存在这样的x的值,使得此包装盒的体积为1560 cm³.

如图,某校准备用54米的围栏修建一边靠墙的矩形花园ABCD(AB ＜ BC),已知墙体的最大可用长度为28米,若该矩形花园的面积为360平方米,则AB的长为15米。

答案： 15

变式1 【留门】「2024内蒙古通辽中考」如图,小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍,其面积为$15m^2,$在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其他材料制成),则BC的长为(C)

A.5m或6m
B.2.5m或3m
C.5m
D.3m

答案： C

6. 「2024内蒙古呼伦贝尔阿荣旗期末」如图所示,A、B、C、D是矩形的四个顶点,AB = 16cm,AD = 6cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,点Q以2cm/s的速度向点D移动,当P到达点B时,两点停止运动。
(1)P,Q两点出发几秒时,四边形PBCQ的面积为$33cm^2？$
(2)P,Q两点出发几秒时,点P和点Q的距离第一次是10cm？

答案：
(1)依题意,得$\frac{1}{2}$×(16 - 3t + 2t)×6 = 33,解得t = 5.答:P,Q两点出发5秒时,四边形PBCQ的面积为33 cm².
(2)过点Q作QM⊥AB于点M,如图.易知PM = |PB - CQ| = |16 - 5t|cm,QM = 6 cm,当PQ = 10 cm时,易知PQ与AB不垂直,此时PQ² = PM² + QM²,即10² = (16 - 5t)² + 6²,解得t₁ = $\frac{8}{5}$,t₂ = $\frac{24}{5}$(不合题意,舍去).
答:P,Q两点出发$\frac{8}{5}$秒时,点P和点Q的距离第一次是10 cm.

变式2 【“L”型】某农场要建一个饲养场(矩形ABCD),两边靠现有墙(AD位置的墙最大可用长度为27米,AB位置的墙最大可用长度为15米),另两边用木栅栏围成,中间也用木栅栏隔开,分成两个场地及一处通道,并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栅栏)。建成后木栅栏的总长为45米。若饲养场的面积为180平方米,则饲养场(矩形ABCD)的一边AB的长为10米。

答案： 10