《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

7. 「2024河南新乡模拟,★☆」如图,$\triangle ABC与\triangle DEC$都是等边三角形,固定$\triangle ABC$,将$\triangle DEC从图示位置绕点C$逆时针旋转一周,在$\triangle DEC$旋转的过程中,$\triangle DEC与\triangle ABC$位似的位置有(C)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个及3个以上

答案： C
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴△ABC∽△DEC.在△DEC旋转的过程中，当点D落在线段AC或线段AC的延长线上时，AD和BE所在直线相交于点C，此时△DEC与△ABC位似，
∴△DEC与△ABC位似的位置有2个.

8. 「2025山东聊城临清期中,★☆」由12个有公共顶点$O$的直角三角形拼成如图所示的图形,$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD =… = \angle LOM = 30^{\circ}$.若$S_{\triangle AOB} = 1$,则图中与$\triangle AOB$位似的三角形的面积为(C)
A.$(\frac{4}{3})^3$
B.$(\frac{4}{3})^7$
C.$(\frac{4}{3})^6$
D.$(\frac{3}{4})^6$

答案： C 在Rt△AOB中，∠AOB=30°，
∴2AB=OB，
∴OA=$\sqrt{(2AB)^2-AB^2}=\sqrt{3}AB$，
∴$OB=\frac{2}{\sqrt{3}}OA$，同理，$OC=\frac{2}{\sqrt{3}}OB$，
∴$OC=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2OA$，……，$OG=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^6OA$，由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且相似比为$\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^6$，
∵$S_{\triangle AOB}=1$，
∴$S_{\triangle GOH}=\left[\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^6\right]^2=\left(\frac{4}{3}\right)^6$，故选C.

9. 「2025山西阳泉期中,★☆」图①②③都是$6×6$的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1.点$A$,$B$,$C$均在格点上.仅用无刻度的直尺,按要求完成作图,并保留作图痕迹.
(1)在图①中,以点$C$为位似中心,将$\triangle ABC$的各边放大到原来的2倍.
(2)在图②中,在线段$BC上作点D$,使得$CD = 3BD$.
(3)在图③中,作$\triangle BEF\backsim\triangle BAC$,且相似比为$3:4$.

答案：
解析
(1)如图①，△A'B'C即为所求.
(2)如图②.详解:取格点M，N，使$\frac{BM}{CN}=\frac{1}{3}$，连接MN交BC于点D，可知△BDM∽△CDN，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BM}{CN}=\frac{1}{3}$，
∴CD=3BD，则点D即为所求.
(3)如图③，△BEF即为所求.取格点E、H，使$\frac{BE}{AB}=\frac{3}{4}$，EH//AC，EH与BC交点为F，
∴△BEF∽△BAC，且相似比为3∶4.

10. 新抽象能力 新规律探究题 如图所示,正三角形$A_1B_1C_1$,正三角形$A_2B_2C_2$,正三角形$A_3B_3C_3$,……$$,正三角形$A_nB_nC_n$位似,其中$\triangle A_1B_1C_1$的边长为1,点$O是B_1C_1$的中点,$A_2是OA_1$的中点,$A_3是OA_2$的中点,……$$,$A_n是OA_{n - 1}$的中点,顶点$B_2$,$B_3$,…$$,$B_n$,$C_2$,$C_3$,…$$,$C_n都在边B_1C_1$上.
(1)试写出$\triangle A_{10}B_{10}C_{10}和\triangle A_7B_7C_7$的相似比和位似中心.
(2)求出正三角形$A_nB_nC_n(n\geq2)$的周长.

答案： 解析
(1)
∵正三角形A₁B₁C₁的边长为1，点O是B₁C₁的中点，A₂是OA₁的中点，正三角形A₁B₁C₁和正三角形A₂B₂C₂位似，
∴正三角形A₂B₂C₂的边长为$\frac{1}{2}$，同理，正三角形A₃B₃C₃的边长为$\left(\frac{1}{2}\right)^2$，……，正三角形A₇B₇C₇的边长为$\left(\frac{1}{2}\right)^6$，……，正三角形A₁₀B₁₀C₁₀的边长为$\left(\frac{1}{2}\right)^9$，
∴正三角形A₁₀B₁₀C₁₀和正三角形A₇B₇C₇的相似比=$\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^9}{\left(\frac{1}{2}\right)^6}=\frac{1}{8}$，它们的位似中心为点O.
(2)由
(1)可知正三角形AₙBₙCₙ(n≥2)的边长为$\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}$，
∴正三角形AₙBₙCₙ(n≥2)的周长为$\frac{3}{2^{n - 1}}$.