《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

7. 「2025山东济南月考,」图1是装满了液体的高脚杯(数据如图),用去部分液体后,放在水平的桌面上,如图2所示,此时液面距离杯口的距离$h$为( )



A.$\frac {8}{5} cm$
B.$2 cm$
C.$\frac {12}{5} cm$
D.$3 cm$

答案：
A　如图，过O作ON⊥CD于N，交AB于M，
∵CD//AB，
∴OM⊥AB，
∵OC = OD，
∴CN = $\frac{1}{2}$CD = 3 cm，
∴ON = $\sqrt{OC^2 - CN^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$(cm)，
∵CD//AB，
∴△CDO∽△ABO，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OM}{ON}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{OM}{4}$，
∴OM = $\frac{12}{5}$cm，
∴h = 4 - $\frac{12}{5}=\frac{8}{5}$(cm)。

8. 「2024江西赣州大余二模,」如图,某校宣传栏$BC$后面12米处种有一排与宣传栏平行的树,即$BC // ED$,且相邻两棵树的间隔为2米,一人站在宣传栏前面的$A$处正好看到两端的树干,其余的树均被宣传栏挡住.已知$AF \perp BC$,$AF = 3$米,$BC = 10$米,则该宣传栏后线段$DE$上(含端点)共有____棵树.(不计宣传栏的厚度)

答案：
答案　26 解析　如图，设AF的延长线交DE于点G，
∵BC//ED，AF⊥BC，
∴△ABC∽△ADE，AG⊥DE，
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{BC}{DE}$，
∵AF = 3米，FG = 12米，
∴AG = AF + FG = 15米，又BC = 10米，
∴$\frac{3}{15}=\frac{10}{DE}$，
∴DE = 50米。
∵50÷2 = 25，
∴DE上共有25 + 1 = 26棵树，故答案为26。

9. 「2024湖南宁远期中节选,」如图1,有一块三角形余料$ABC$,它的边$BC = 120 mm$,高$AD = 80 mm$.要把它加工成正方形零件,使正方形的边$QM在BC$上,顶点$P$,$N分别在AB$,$AC$上,且$PN与AD交于点E$.


(1)求加工成的正方形零件的边长.
(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形可分割成两个并排放置的正方形,如图2,此时,这个矩形零件的两条相邻边长分别为多少？请计算.

答案： 解析　
(1)设正方形PQMN的边长为x mm，则PN = PQ = ED = x mm，
∴AE = AD - ED = (80 - x)mm，
∵PN//BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{x}{120}=\frac{80 - x}{80}$，解得x = 48，
∴加工成的正方形零件的边长是48 mm。
(2)设PQ = x mm，则PN = 2x mm，AE = (80 - x)mm，
∵PN//BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{2x}{120}=\frac{80 - x}{80}$，解得x = $\frac{240}{7}$，
∴2x = $\frac{480}{7}$，
∴这个矩形零件的两条相邻边长分别为$\frac{240}{7}$mm，$\frac{480}{7}$mm。

10. 新课标 推理能力 当$∠BAE和∠B'A'E'分别是\triangle ABC和\triangle A'B'C'$的外角时,定义：若$AD$,$A'D'分别是∠BAE和∠B'A'E'$的平分线,且交$CB$,$C'B'的延长线于D$,$D'$,则称$AD$,$A'D'分别是\triangle ABC和\triangle A'B'C'$的外角平分线段.我们知道：两个相似三角形对应边上的高、中线和对应的角平分线之比都等于相似比,那么两个相似三角形对应的外角平分线段之比是否等于相似比呢？例如：如图,已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$,且$\triangle ABC与\triangle A'B'C'的相似比为k$,$AD$、$A'D'分别是\triangle ABC$、$\triangle A'B'C'$的外角平分线段,那么$\frac {AD}{A'D'}= k$是否成立？如果结论不成立,请说明理由；如果结论成立,请证明.

答案： 解析　结论:$\frac{AD}{A'D'}=k$成立。证明:
∵△ABC∽△A'B'C'，且△ABC与△A'B'C'的相似比为k，
∴∠BAC = ∠B'A'C'，∠C = ∠C'，AB:A'B' = k，
∴∠EAB = ∠E'A'B'，
∵∠ABD = ∠BAC + ∠C，∠A'B'D' = ∠B'A'C' + ∠C'，
∴∠ABD = ∠A'B'D'，
∵AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的外角平分线段，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAE，∠B'A'D' = $\frac{1}{2}$∠B'A'E'，
∴∠BAD = ∠B'A'D'，
∴△BAD∽△B'A'D'，
∴AD:A'D' = AB:A'B' = k，即$\frac{AD}{A'D'}=k$。