《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

9. 「2024山东潍坊中考」已知关于$x的一元二次方程x^{2}-mx-n^{2}+mn+1= 0$,其中$m$,$n满足m-2n= 3$,关于该方程根的情况,下列判断正确的是(C)
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

答案： C
∵m-2n=3,Δ=(-m)²-4(-n²+mn+1)=m²+4n²-4mn-4=(m-2n)²-4,
∴Δ=3²-4=9-4=5＞0,
∴原方程有两个不相等的实数根,故选C.

10. 「2024江苏宿迁中考改编」规定：对于任意实数$a$、$b$、$c$,有$[a,b]\bigstar c= ac+b$,其中等式右边是通常的乘法和加法运算,如$[2,3]\bigstar1= 2×1+3= 5$. 若关于$x的方程[x,x+1]\bigstar(mx)= 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围为(D)
A.$m＜\frac{1}{4}$
B.$m＞\frac{1}{4}$
C.$m＞-\frac{1}{4}且m\neq0$
D.$m＜\frac{1}{4}且m\neq0$

答案： D 根据题意得x(mx)+x+1=0,整理得mx²+x+1=0,
∵关于x的方程[x,x+1]★(mx)=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=1²-4m·1＞0且m≠0,解得m＜1/4且m≠0.故选D.

11. 「2024浙江台州温岭期中」直线$y= x+a$不经过第二象限,则关于$x的方程ax^{2}+2x+1= 0$的实数解的个数是(D)
A.0
B.1
C.2
D.1或2

答案： D
∵直线y=x+a不经过第二象限,
∴a≤0.当a=0时,关于x的方程ax²+2x+1=0是一元一次方程,解为x=-1/2;当a＜0时,关于x的方程ax²+2x+1=0是一元二次方程,
∵Δ=2²-4a＞0,
∴方程有两个不相等的实数根.故选D.

12. 「2023浙江杭州中考」设一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0$. 在下面的四组条件中选择其中一组$b$,$c$的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①$b= 2$,$c= 1$；
②$b= 3$,$c= 1$；
③$b= 3$,$c= -1$；
④$b= 2$,$c= 2$.
注：如果选择多组条件分别作答,那么按第一个解答计分.

答案：
∵方程有两个不相等的实数根,
∴b²-4ac＞0,即b²＞4c,
∴②③均可.选②,则这个方程为x²+3x+1=0,
∴x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(-3±√5)/2,
∴x₁=(-3+√5)/2,x₂=(-3-√5)/2.选③,则这个方程为x²+3x-1=0,
∴x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(-3±√13)/2,
∴x₁=(-3+√13)/2,x₂=(-3-√13)/2.

13. 「2025江苏泗阳期中」已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2(k+1)x+k^{2}+2= 0$.
(1)若方程有实数根,求$k$的取值范围.
(2)方程的一个根可以为1吗？如果可以,求$k$的值；如果不可以,说明理由.

答案：
(1)根据题意得Δ=[-2(k+1)]²-4(k²+2)=8k-4≥0,
∴k≥1/2,
∴k的取值范围为k≥1/2.
(2)若方程的一个根为1,则1-2(k+1)+k²+2=0,整理得k²-2k+1=0,解得k=1,
∵k=1≥1/2,
∴方程的一个根可以为1,k的值为1.

14. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(k+2)x+k-1= 0$.
(1)求证：无论$k$取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)已知$\frac{1}{2}是关于x的方程x^{2}-(k+2)x+k-1= 0$的一个根,而这个方程的两个根恰好是等腰$\triangle ABC$的两边长,求$\triangle ABC$的周长.

答案：
(1)证明:
∵a=1,b=-(k+2),c=k-1,
∴Δ=b²-4ac=[-(k+2)]²-4×1×(k-1)=k²+8＞0,
∴无论k取何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)把x=1/2代入方程x²-(k+2)x+k-1=0得1/4-1/2(k+2)+k-1=0,解得k=7/2.方程为x²-11/2x+5/2=0,解得x₁=1/2,x₂=5.
∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,
∴有两种情况:①当腰长为1/2时,
∵1/2+1/2＜5,
∴不能组成三角形,不合题意.②当腰长为5时,
∵1/2+5＞5,
∴能组成三角形.
∴这个等腰三角形的三边长分别为1/2,5,5,
∵1/2+5+5=21/2,
∴△ABC的周长为21/2.