《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

1. 学科教材变式 特色P107T1 「2025河北张家口桥西期中」已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$,$BD和B'D'$是它们的对应角平分线,若$\frac {AC}{A'C'}= \frac {2}{3}$,$BD = 4$,则$B'D'= $C
A.2
B.3
C.6
D.9

答案： C
∵△ABC∽△A'B'C'，BD和B'D'是它们的对应角平分线，
∴AC:A'C'=BD:B'D'。
∵$\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{3}$，BD = 4，
∴B'D' = 6，故选C。

2. 跨物理 小孔成像 学科教材变式 素养P108习题T2 「2025河南南阳期中」为了证明光沿直线传播这一性质,大约在二千四百年前,我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验,解释了小孔成倒像的原理.如图所示的是小孔成像原理的示意图,$AB$为蜡烛,$CD为蜡烛AB$在暗盒中所成的像,若$6 cm长的蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1 cm$,$AB与小孔O之间的距离为18 cm$,则小孔$O到像CD$的距离为(C)

A.$1 cm$
B.$2 cm$
C.$3 cm$
D.$4 cm$

答案： C　设小孔O到像CD的距离为h cm，由题意可知△ABO与△CDO相似，
∵6 cm长的蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1 cm，
∴$\frac{18}{h}=\frac{6}{1}$，
∴h = 3。故选C。

3. 「2025北京顺义三中期中」图1是可折叠的熨衣架的实物图,图2是它的侧面示意图,$AD与CB相交于点O$,$AB // CD$,根据图2中的数据可得$x$的值为(A)
A.0.4
B.0.35
C.0.3
D.0.6

答案： A
∵AB//CD，
∴△COD∽△BOA，
∴$\frac{CD}{BA}=\frac{x}{0.5}$，
∵$\frac{0.8}{1}=\frac{x}{0.5}$，
∴x = 0.4，故选A。

4. 「2025上海金山期中」如果两个相似三角形对应边上的高之比是$4:9$,那么它们的对应中线之比等于4:9.

答案： 答案　4:9 解析
∵两个相似三角形对应边上的高之比是4:9，
∴这两个相似三角形的相似比为4:9，
∴它们的对应中线之比等于4:9。故答案为4:9。

5. 新考向 尺规作图 求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.
要求：
(1)根据给出的$\triangle ABC与∠A'(∠A' = ∠A)$,以$A'B'$为一边,在给出的图形上用尺规作出$\triangle A'B'C'$,使得$\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$,不写作法,保留作图痕迹.
(2)在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程.

答案：
解析　
(1)如图所示，△A'B'C'即为所求。
(2)(答案不唯一)已知:如图，△ABC∽△A'B'C'，$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=k$，D是AB的中点，D'是A'B'的中点。求证:$\frac{C'D'}{CD}=k$。证明:
∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB，A'D' = $\frac{1}{2}$A'B'，
∴$\frac{A'D'}{AD}=\frac{\frac{1}{2}A'B'}{\frac{1}{2}AB}=\frac{A'B'}{AB}$。
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}$，∠A' = ∠A，
∴$\frac{A'D'}{AD}=\frac{A'C'}{AC}$，
∴△A'C'D'∽△ACD，
∴$\frac{C'D'}{CD}=\frac{A'C'}{AC}=k$。

6. 如图,$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$,$BE$,$B'E'分别是\triangle ABC$,$\triangle A'B'C'$的角平分线,$D$,$D'分别是BC$,$B'C'$的三等分点,且$CD = 2BD$,$C'D' = 2B'D'$,连接$AD$,$A'D'$.求证：$\frac {AD}{A'D'}= \frac {BE}{B'E'}$.

答案： 证明
∵△ABC∽△A'B'C'，BE，B'E'分别是△ABC，△A'B'C'的角平分线，
∴$\frac{BE}{B'E'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，∠ABD = ∠A'B'D'。
∵CD = 2BD，C'D' = 2B'D'，
∴BD = $\frac{1}{3}$BC，B'D' = $\frac{1}{3}$B'C'，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}$。
∵∠ABD = ∠A'B'D'，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{BE}{B'E'}$。