《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

1.「2025安徽宿州萧县期中」菱形、矩形、正方形都具有的性质是 (D)
A.邻边相等
B.四个角都是直角
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分

答案： D　矩形、菱形、正方形都属于平行四边形，所以矩形、菱形、正方形一定都具有的性质是所有平行四边形都具有的性质，所有平行四边形的对角线互相平分，
∴A,B,C选项不符合题意，D选项符合题意，故选D。

2.「2025安徽宿州泗县月考」数学课上,老师在投影屏上出示下面的抢答题,需要同学们回答特殊图形可以代表的内容.
如图,四边形ABCD是平行四边形,①当※时,平行四边形ABCD是矩形.②当◎时,平行四边形ABCD是矩形.③当▲时,平行四边形ABCD是菱形.④当♠时,平行四边形ABCD是正方形.则下列回答不正确的是 (D)

A.※可以代表$∠ABC= 90^{\circ }$
B.◎可以代表$AC= BD$
C.▲可以代表$AB= BC$
D.♠可以代表$AC⊥BD$

答案： D　选项A，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC = 90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴A不符合题意；选项B，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC = BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴B不符合题意；选项C，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB = BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴C不符合题意；选项D，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，
∴D符合题意。故选D。

3.「2025四川成都七中月考」如图,四边形ABCD是菱形,对角线$AC= 4cm,BD= 2cm,DH⊥AB$于点H,则DH的长为 (B)

A.$\sqrt {3}cm$
B.$\frac {4\sqrt {5}}{5}cm$
C.$\frac {8}{5}cm$
D.$\frac {8\sqrt {5}}{5}cm$

答案： B
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA = OC = $\frac{1}{2}$AC = 2cm，OB = OD = $\frac{1}{2}$BD = 1cm，
∴AB = $\sqrt{AO² + BO²}$ = $\sqrt{1² + 2²}$ = $\sqrt{5}$cm，
∵S菱形ABCD = $\frac{1}{2}$AC·BD = AB·DH，
∴DH = $\frac{AC·BD}{2AB}$ = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$cm。故选B。

4.「2024山东东营中考」如图,四边形ABCD是矩形,直线EF分别交AD,BC,BD于点E,F,O,选项的条件中,不能证明$△BOF\cong △DOE$的是 (D)

A.O为矩形ABCD两条对角线的交点
B.$EO= FO$
C.$AE= CF$
D.$EF⊥BD$

答案： D
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD = BC，AD//BC，
∴∠OBF = ∠ODE，∠OFB = ∠OED。选项A，
∵O为矩形ABCD两条对角线的交点，
∴OB = OD。在△BOF和△DOE中，{∠OFB = ∠OED，∠OBF = ∠ODE，OB = OD}，
∴△BOF≌△DOE(AAS)，故A不符合题意；选项B，在△BOF和△DOE中，{∠OBF = ∠ODE，∠OFB = ∠OED，FO = EO}，
∴△BOF≌△DOE(AAS)，故B不符合题意；选项C，
∵AE = CF，
∴BC - CF = AD - AE，即BF = DE，在△BOF和△DOE中，{∠OBF = ∠ODE，BF = DE，∠OFB = ∠OED}，
∴△BOF≌△DOE(ASA)，故C不符合题意；选项D，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF = ∠DOE = 90°，不能证明△BOF≌△DOE，故D符合题意。故选D。

5.「2024河南郑州一中月考」如图,在$Rt△ABC$中,$∠A= 90^{\circ }$,P为边BC上一动点,$PE⊥AB$于E,$PF⊥AC$于F,则在动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动的过程中,线段EF的长度的大小变化情况是 ( )

A.一直增大
B.一直减小
C.先减小后增大
D.先增大后减少

答案：
C　如图，连接AP。
∵∠BAC = 90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF = AP，由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，此时线段EF的长度最小，
∴在动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动的过程中，线段EF的长度的大小变化情况是先减小后增大。故选C。
　　　　　　
方法解读：本题考查了矩形的判定与性质以及垂线段最短的性质，判断出“当AP⊥BC时，线段EF的长度最小”是解题的关键。

6.「2024重庆中考B卷」如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分$∠EAF$交CD于点M.若$BE= DF= 1$,则DM的长度为 (D)

A.2
B.$\sqrt {5}$
C.$\sqrt {6}$
D.$\frac {12}{5}$

答案： D
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD，∠ABE = 90°，∠ADF = 180° - ∠ADM = 90°。在△ABE和△ADF中，{AB = AD，∠ABE = ∠ADF = 90°，BE = DF}，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE = AF；
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM = ∠FAM。在△AEM和△AFM中，{AE = AF，∠EAM = ∠FAM，AM = AM}，
∴△AEM≌△AFM(SAS)，
∴EM = FM；
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC = CD = 4，∠BCD = 90°，设DM = x，则MC = CD - DM = 4 - x，CE = BC - BE = 4 - 1 = 3，EM = FM = FD + DM = 1 + x。在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM² = MC² + CE²，即(1 + x)² = (4 - x)² + 3²，解得x = $\frac{12}{5}$。故选D。

7.「2024浙江温州二中月考」如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q在对角线BD上,且四边形MNPQ和四边形AEFG均为正方形,则$\frac {S_{正方形MNPQ}}{S_{正方形AEFG}}$等于 (D)

A.$\frac {\sqrt {2}}{3}$
B.$\frac {3\sqrt {2}}{4}$
C.$\frac {4}{9}$
D.$\frac {8}{9}$

答案： D
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD = ∠CBD = 45°，
∵四边形MNPQ和四边形AEFG均为正方形，
∴∠BEF = ∠AEF = 90°，∠BMN = ∠QMN = 90°，
∴△BEF和△BMN都是等腰直角三角形，
∴BE = FE = AE = $\frac{1}{2}$AB，BM = MN = QM，同理可得DQ = MQ，
∴MN = $\frac{1}{3}$BD = $\frac{\sqrt{2}}{3}$AB，
∴S正方形MNPQ/S正方形AEFG = MN²/AE² = $\frac{(\frac{\sqrt{2}}{3}AB)²}{(\frac{1}{2}AB)²}$ = $\frac{8}{9}$，故选D。