《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

6.「2023四川巴中中考,★☆」如图,已知等边△ABC中,AD⊥BC,E为AB中点.以D为圆心,适当长为半径画弧,交DE于点M,交DB于点N,分别以M、N为圆心,大于$\frac{1}{2}$MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线DP交AB于点G.过点E作EF//BC交射线DP于点F,连接BF、AF.
(1)求证：四边形BDEF是菱形.
(2)若AC= 4,求△AFD的面积.

答案：
(1)证明:
∵ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC,∠ABC=60°,
∵ AD⊥BC,
∴ BD=(1/2)BC=(1/2)AB,
∵ E为AB中点,
∴ BE=(1/2)AB,
∴ BE=BD,
∴ △BED是等边三角形,
∴ BE=BD=DE,由作图知,DF平分∠EDB,
∴ ∠EDF=∠FDB,
∵ EF//BC,
∴ ∠EFD=∠FDB,
∴ ∠EFD=∠EDF,
∴ EF=ED,
∴ EF=BD,
∴ 四边形BDEF是菱形.
(2)
∵ △ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴ ∠C=60°,∠ADC=90°,∠CAD=∠BAD=30°,
∵ AC=4,
∴ CD=(1/2)AC=2,
∴ AD=√(AC² - CD²)=2√3,
∵ 四边形BDEF是菱形,
∴ AG⊥FD,FG=GD.在Rt△AGD中,
∵ ∠BAD=30°,
∴ DG=(1/2)AD=√3,
∴ AG=√(AD² - DG²)=3,FD=2√3,
∴ S△AFD=(1/2)FD·AG=(1/2)×2√3×3=3√3.

结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半.

答案： 两对角线乘积的一半

7.新课标推理能力「2023江西吉安十三中期中」如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线BD= 16,对角线AC,BD相交于点G,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积.
(2)如图①,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化？请说明理由.
(3)如图②,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否发生变化？若不变,请说明理由；若变化,请探究OE,OF之间的数量关系.

的面积
应用：如图②,四边形ABCD是我们常见的风筝的图案,其中对角线BD的长为30cm,AC的长为40cm,AC垂直平分BD,垂足为E.求四边形ABCD的面积.

答案：
(1)在菱形ABCD中,AC⊥BD,BG=(1/2)BD=(1/2)×16=8,由勾股定理得AG=√(AB² - BG²)=6,
∴ AC=2AG=2×6=12,
∴ 菱形ABCD的面积=(1/2)AC·BD=(1/2)×12×16=96.
(2)不发生变化.理由:如图①,连接AO,则S△ABD=S△ABO+S△ADO,
∴ (1/2)BD·AG=(1/2)AB·OE+(1/2)AD·OF,即(1/2)×16×6=(1/2)×10·OE+(1/2)×10·OF,
∴ OE+OF=9.6,故OE+OF的值不发生变化.
(3)发生变化.如图②,连接AO,则S△ABD=S△ABO - S△ADO,
∴ (1/2)BD·AG=(1/2)AB·OE - (1/2)AD·OF,即(1/2)×16×6=(1/2)×10·OE - (1/2)×10·OF,
∴ OE - OF=9.6,
∴ OE+OF的值发生变化,OE、OF之间的数量关系为OE - OF=9.6.应用:S四边形ABCD=(1/2)BD·AC=(1/2)×30×40=600(cm²).