《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

1. 已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$,$AB = 8$,$A'B' = 6$,则$\frac{BC}{B'C'} = $(B)
A.2
B.$\frac{4}{3}$
C.3
D.$\frac{16}{9}$

答案： B
∵△ABC∽△A'B'C',
∴$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$.故选B.

2. 如图,$\triangle ABC \backsim \triangle ACP$。
(1) 若$\angle A = 75^{\circ}$,$\angle APC = 65^{\circ}$,则$\angle BCP$的大小为25度。
(2) 若$\triangle ABC与\triangle ACP的相似比为\frac{5}{3}$,$AP = 6$,则$AC = $10,$BP = $$\frac{32}{3}$。

答案：
(1)25　
(2)10;$\frac{32}{3}$
解析　
(1)
∵∠A=75°,∠APC=65°,
∴∠ACP=40°,
∵△ABC∽△ACP,
∴∠ACB=∠APC=65°,
∴∠BCP=∠ACB−∠ACP=25°.
(2)
∵△ABC∽△ACP,相似比为$\frac{5}{3}$,AP=6,
∴$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3}$,
∴AC=$\frac{5}{3}$AP=10,AB=$\frac{5}{3}$AC,
∴AB=$\frac{50}{3}$,
∴BP=AB−AP=$\frac{50}{3}-6=\frac{32}{3}$.

3. 新考向 实践操作题 [2024河北乐亭期末] 如图,在$\triangle ABC$纸片中,$\angle A = 76^{\circ}$,$\angle B = 34^{\circ}$。将$\triangle ABC$纸片沿某处剪开,下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是(C)

A.①②
B.②④
C.①③
D.③④

答案： C　　题图①中,∠B=∠B,∠A=∠BDE=76°,所以△BDE和△ABC相似;
题图②中,仅有∠B=∠B一个条件,不能推出△BCD 和△ABC相似;
题图③中,∠C=∠C,∠CED=∠B,所以△CDE和△CAB相似;
题图④中,仅有∠C=∠C一个条件,不能推出△CDE 和△ABC相似,
所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，故选C.

4. 学科特色 教材变式 P90随堂练习T2 下列描述中的各组图形,不一定相似的是(A)
A.各有一个角是$50^{\circ}$的两个等腰三角形
B.各有一个角是$60^{\circ}$的两个等腰三角形
C.各有一个角是$100^{\circ}$的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形

答案： A　选项A,当一个等腰三角形中50°的角为顶角，底角为65°,另一个等腰三角形中50°的角为底角，顶角为80°时，这两个等腰三角形不相似，故选A.

5. 新考向 条件开放题 [2024山东滨州中考] 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别在边AB$,$AC$上。添加一个条件使$\triangle ADE \backsim \triangle ACB$,则这个条件可以是∠ADE=∠C(答案不唯一)。(写出一个条件即可)

答案： ∠ADE=∠C(答案不唯一)
解析
∵∠DAE=∠BAC,
∴添加的条件可以是∠ADE=∠C,根据有两组角对应相等的两个三角形相似,可判定△ADE∽△ACB.(答案不唯一)

6. 如图,已知$AD是\triangle ABC$的角平分线,$AD = BD$,求证：$\triangle ABC \backsim \triangle DAC$。

答案： 证明
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD,
∵AD=BD,
∴∠BAD=∠B,
∴∠CAD=∠B,
又
∵∠C=∠C,
∴△ABC∽△DAC.

7. 学科特色 教材变式 P90T3 新考向 尺规作图 [2024福建三明将乐期中] 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$。
(1) 在$AB上求作点D$,使$\triangle CDB \backsim \triangle ACB$。(要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2) 在(1)的条件下,求证：$CD^{2} = AD \cdot BD$。

答案：
解析　
(1)如图，点D就是所求作的点.
　　　　　　　　
(2)证明:
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=∠BDC=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠BCD=∠CAD,
∴△ADC∽△CDB,
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$,即$CD^2=AD·BD$.