《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

9. 「2025 湖南岳阳期中」如图,在 $ \triangle A B C $ 中,若 $ D E // B C $,$ D F // A C $,则下列结论不一定正确的是(C)
A.$ \frac { A E } { E C } = \frac { C F } { F B } $
B.$ \frac { B F } { B C } = \frac { D F } { A C } $
C.$ \frac { A C } { A E } = \frac { A B } { A D } $
D.$ \frac { A D } { F C } = \frac { A B } { B C } $

答案： 9.C
∵DE//BC,DF//AC,
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{BD}$，$\frac{AD}{BD}=\frac{CF}{BF}$，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{CF}{BF}$，故A正确；
∵DE//BC,DF//AC,
∴四边形DECF为平行四边形，$\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{AB}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{EC}{AC}$，
∴EC=DF，$\frac{BF}{BC}=\frac{EC}{AC}$，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{DF}{AC}$，故B正确；
∵DE//BC,
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$，
∵AD与AC不一定相等，
∴$\frac{AC}{AE}$与$\frac{AB}{AC}$不一定相等，故C不一定正确；
∵DF//AC,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{CF}{BC}$，
∴$\frac{AD}{CF}=\frac{AB}{BC}$，故D正确。故选C｡

10. 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ D $ 为 $ B C $ 边的中点,$ E $ 为 $ A C $ 边上的任意一点,$ B E $ 交 $ A D $ 于点 $ O $,某学生在研究这一问题时,发现：
①当 $ \frac { A E } { A C } = \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 1 + 1 } $ 时,$ \frac { A O } { A D } = \frac { 2 } { 3 } = \frac { 2 } { 2 + 1 } $(如图 1)；
②当 $ \frac { A E } { A C } = \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 1 + 2 } $ 时,$ \frac { A O } { A D } = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 2 } { 2 + 2 } $(如图 2)；
③当 $ \frac { A E } { A C } = \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 } { 1 + 3 } $ 时,$ \frac { A O } { A D } = \frac { 2 } { 5 } = \frac { 2 } { 2 + 3 } $(如图 3)；
……
当 $ \frac { A E } { A C } = \frac { 1 } { 1 + n } $ 时,请你猜想 $ \frac { A O } { A D } $ 的一般结论,并证明你的结论(其中 $ n $ 为正整数).

答案： 10.解析　猜想$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n + 2}$
证明:如图,过D作DF//BE交AC于点F,
∴AO:AD=AE:AF，CD:BD=CF:EF｡
∵D为BC边的中点，
∴CD=BD，
∴CF=EF=$\frac{1}{2}$EC｡
∵$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{1 + n}$，
∴AE:(AE + 2EF)=1:(1 + n)，
∴$\frac{AE + 2EF}{AE}=1 + n$，即1+$\frac{2EF}{AE}=1 + n$，
∴$\frac{2EF}{AE}=n$｡
∴AE:EF=2:n｡
∴AE:AF=2:(n + 2)，即$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n + 2}$

例题 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ A F : F D = 1 : 3 $,$ B D = D C $,求 $ \frac { A E } { E C } $ 的值.

答案： 例题　解析　如图,过点D作DG//BE交AC于点G,则AF:FD=AE:EG=1:3，BD:CD=EG:CG=1:1，所以可得$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{6}$

变式
如图,已知 $ A D $ 是 $ \triangle A B C $ 的中线.
(1)若 $ E $ 为 $ A D $ 的中点,射线 $ C E $ 交 $ A B $ 于点 $ F $,求 $ \frac { A F } { B F } $ 的值.
(2)若 $ E $ 为 $ A D $ 上任意一点(不与 $ A $、$ D $ 重合),且 $ \frac { A E } { E D } = \frac { 1 } { k } $,射线 $ C E $ 交 $ A B $ 于点 $ F $,求 $ \frac { A F } { B F } $ 的值(用含 $ k $ 的式子表示).

答案： 变式　解析　如图,过点D作DG//CF交AB于点G｡
(1)
∵DG//CF，
∴$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{DC}$，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴BG=GF；
∵DG//CF，
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{ED}$
∵E为AD的中点，
∴AE=ED，
∴AF=GF，
∴AF=FG=GB，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$
(2)
∵DG//CF，
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{ED}$，
∵$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{k}$，
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{1}{k}$，
∴FG=kAF｡
由
(1)知BG=GF，
∴BG=FG=kAF，
∴BF=2kAF，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2k}$｡