《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

1.「2025河南郑州期中」如图,菱形ABCD中,AB= 10,BD= 12,菱形ABCD的面积为(D)

A.60
B.120
C.192
D.96

答案： D 如图,连接AC,交BD于点O,
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ BD⊥AC,OA=OC,OB=OD,
∵ BD=12,
∴ OB=OD=6.在Rt△AOB中,AO=√(AB² - OB²)=√(10² - 6²)=8,
∴ AC=2OA=16,
∴ 菱形的面积为(1/2)×16×12=96,故选D.

2.「2024黑龙江绥化中考」如图,四边形ABCD是菱形,CD= 5,BD= 8,AE⊥BC于点E,则AE的长是(A)

A.$\frac{24}{5}$
B.6
C.$\frac{48}{5}$
D.12

答案： A
∵ 四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,
∴ BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD,
∴ ∠BOC=90°.在Rt△OBC中,由勾股定理得OC=√(BC² - BO²)=√(5² - 4²)=3,
∴ AC=2OC=6,
∵ 菱形ABCD的面积=AE·BC=(1/2)BD·AC=OB·AC,
∴ AE=(OB·AC)/BC=(4×6)/5=24/5,故选A.

3.「2025山东青岛期中」如图,在菱形ABCD中,E是AD的中点,CE,BA的延长线交于点F,连接AC,DF.
(1)求证：AF= CD.
(2)连接BD,请判断BD与DF的位置关系,并说明理由.
(3)当菱形ABCD满足∠ABC= 60°时,四边形ACDF是菱形.

答案：
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB//CD,
∴ ∠AFE=∠DCE,
∵ E是AD的中点,
∴ AE=DE,在△AFE与△DCE中,{∠AFE=∠DCE,∠AEF=∠DEC,AE=DE,
∴ △AFE≌△DCE(AAS),
∴ AF=CD.
(2)BD⊥DF.理由:如图,
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB=AD=CD,
∵ AF=CD,
∴ AB=AD=AF,
∴ ∠ABD=∠ADB,∠ADF=∠AFD,
∴ ∠ADB+∠ADF=(1/2)×180°=90°,
∴ ∠BDF=90°,
∴ BD⊥DF.
(3)当菱形ABCD满足∠ABC=60°时,四边形ACDF是菱形.提示:
∵ AF=CD,AF//CD,
∴ 四边形ACDF是平行四边形,
∵ ∠ABC=60°,AB=BC,
∴ △ABC是等边三角形,
∴ AB=AC,
∴ AC=CD,
∴ 平行四边形ACDF是菱形.

4.「2025河南郑州外国语学校期中」如图,在□ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AC与EF交于点O,且EF垂直平分AC,连接AE,CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形.
(2)若AC⊥AB,∠B= 30°,AE= 12,求四边形AECF的面积.

答案：
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD//BC,
∴ ∠OAF=∠OCE,
∵ EF垂直平分AC,
∴ EF⊥AC,OA=OC,在△AOF和△COE中,{∠OAF=∠OCE,OA=OC,∠AOF=∠COE,
∴ △AOF≌△COE(ASA),
∴ OE=OF,
∴ 四边形AECF是平行四边形,又
∵ EF⊥AC,
∴ 平行四边形AECF是菱形.
(2)由
(1)知,OE=OF,四边形AECF是菱形,
∴ CE=AE=12.
∵ AC⊥AB,EF⊥AC,
∴ ∠COE=90°,EF//AB,
∴ ∠CEO=∠B=30°,
∴ OC=(1/2)CE=6,
∴ AC=2OC=12,OE=√(CE² - OC²)=√(12² - 6²)=6√3,
∴ EF=2OE=12√3,
∴ 菱形AECF的面积=(1/2)AC·EF=(1/2)×12×12√3=72√3.

5.「2024陕西汉中城固期中,★☆」如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且BD= 2AB,AE//BD,OE//AB.
(1)求证：四边形ABOE是菱形.
(2)若AO= 4,四边形ABOE的面积是$12\sqrt{3}$,求BD的长.

答案：
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OB=OD=(1/2)BD,
∵ BD=2AB,
∴ AB=OB,
∵ AE//BD,OE//AB,
∴ 四边形ABOE是平行四边形,又
∵ AB=OB,
∴ 平行四边形ABOE是菱形.
(2)如图,连接BE,交OA于F,
∵ 四边形ABOE是菱形,
∴ OA⊥BE,AF=OF=(1/2)OA=2,BF=EF=(1/2)BE,
∵ S四边形ABOE=12√3=(1/2)OA·BE=(1/2)×4×BE=2BE,
∴ BE=6√3,
∴ BF=3√3,
∴ OB=√(BF² + OF²)=√31,
∴ BD=2OB=2√31,即BD的长为2√31.