《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在$□ ABCD$中,$E$,$F为BC$上两点,且$BE = CF$,$AF = DE$。求证：四边形$ABCD$是矩形。

答案： 证明
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC.
　又
∵AF=DE,
∴△ABF≌△DCE(SSS).
∴∠B=∠C.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD.
∴∠B+∠C=180°.
∴∠B=∠C=90°.
∴平行四边形ABCD是矩形(矩形的定义).

2. 「2024四川泸州中考」已知四边形$ABCD$是平行四边形,下列条件中,不能判定$□ ABCD$为矩形的是(D)
A.$∠A = 90^{\circ}$
B.$∠B = ∠C$
C.$AC = BD$
D.$AC⊥BD$

答案： D　选项A,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠A=90°时，平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意;选项B,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,
∴∠B+∠C=180°,当∠B=∠C时,∠B=∠C=90°,此时▱ABCD为矩形，故选项B不符合题意;选项C,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC=BD时,平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意;选项D,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时,平行四边形ABCD是菱形,
∴选项D不能判定▱ABCD 为矩形,故选项D符合题意.故选D.

3. 「2025贵州贵阳乌当月考」在学完矩形的判定后,善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解：
已知：如图,四边形$ABCD$中,$AD// BC$,对角线$AC$、$BD相交于点O$,$OA = OC$。
小壮说：“若$OA = OB$,则四边形$ABCD$为矩形。”
小刚说：“若$∠ABC = ∠BCD$,则四边形$ABCD$为矩形。”
小强说：“若$∠1 = 2∠2$,则四边形$ABCD$为矩形。”
矩形的判定
答案D7
请判断三人的说法是否正确并任选其一进行证明。

答案： 解析　三人的说法都正确.
　①选择小壮的说法证明，过程如下:
　证明:
∵AD//BC,
∴∠DAC=∠2,∠ADB=∠CBD,
　又
∵OA=OC,
∴△AOD≌△COB,
∴OD=OB=1/2BD,又OA=OC=1/2AC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵OA=OB,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
　②选择小刚的说法证明，过程如下:
　证明:
∵AD//BC,
∴∠DAC=∠2,∠ADB=∠CBD,
　又
∵OA=OC,
∴△AOD≌△COB,
∴OD=OB,
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵∠ABC=∠BCD,
∴2∠ABC=180°,
∴∠ABC=90°,
∴四边形ABCD为矩形.
　③选择小强的说法证明，过程如下:
　证明:
∵AD//BC,
∴∠DAC=∠2,∠ADB=∠CBD,
　又
∵OA=OC,
∴△AOD≌△COB,
∴OD=OB,
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠1=∠2+∠OBC,∠1=2∠2,
∴∠2=∠OBC,
∴OB=OC,
∴OA=OD,
∴OA+OC=OB+OD,即AC=BD,
∴四边形ABCD为矩形.

4. 「2025河南郑州外国语学校期中」如图,诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫,为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形,他想出了以下几种方案,其中合理的是(C)

A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中的三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等

答案： C　选项A,测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意;选项B,测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意;选项C,测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意;选项D,测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意.故选C.

5. 「2025山东济南商河期中」如图,在$□ ABCD$中,$CE⊥AB$,$AF⊥CD$,垂足分别为$E$,$F$,求证：四边形$AECF$是矩形。

答案： 证明
∵CE⊥AB,AF⊥CD,
∴∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,
∴∠FAE=∠AFD=90°,
∴∠AEC=∠AFC=∠FAE=90°,
∴四边形AECF是矩形.