《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

1.「2024山东青岛五十三中月考」用配方法解下列方程,配方错误的是(C)
A.$ x^{2}-2x - 99 = 0 化为 (x - 1)^{2} = 100 $
B.$ 2t^{2}-7t - 4 = 0 化为 (t - \frac{7}{4})^{2} = \frac{81}{16} $
C.$ x^{2}+8x + 9 = 0 化为 (x + 4)^{2} = 25 $
D.$ 3x^{2}-4x - 2 = 0 化为 (x - \frac{2}{3})^{2} = \frac{10}{9} $

答案： C A.$x^{2}-2x-99=0$移项得$x^{2}-2x=99$,配方得$x^{2}-2x+1=99+1$,即$(x-1)^{2}=100$,此选项配方正确,不符合题意;B.$2t^{2}-7t-4=0$移项得$2t^{2}-7t=4$,则$t^{2}-\frac {7}{2}t=2$,配方得$t^{2}-\frac {7}{2}t+\frac {49}{16}=2+\frac {49}{16}$,即$(t-\frac {7}{4})^{2}=\frac {81}{16}$,此选项配方正确,不符合题意;C.$x^{2}+8x+9=0$移项得$x^{2}+8x=-9$,配方得$x^{2}+8x+16=-9+16$,即$(x+4)^{2}=7$,此选项配方错误,符合题意;D.$3x^{2}-4x-2=0$移项得$3x^{2}-4x=2$,则$x^{2}-\frac {4}{3}x=\frac {2}{3}$,配方得$x^{2}-\frac {4}{3}x+\frac {4}{9}=\frac {10}{9}$,即$(x-\frac {2}{3})^{2}=\frac {10}{9}$,此选项配方正确,不符合题意.故选 C.

2.「2025江苏连云港灌南月考」某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤。如图所示,老师看后,发现有一位同学所负责的步骤是错误的,这位同学是(B)
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

答案： B $2x^{2}+4x-1=0,2x^{2}+4x=1,x^{2}+2x=\frac {1}{2},x^{2}+2x+1=\frac {1}{2}+1,(x+1)^{2}=\frac {3}{2},x+1=\pm \frac {\sqrt {6}}{2}$,所以$x_{1}=-1+\frac {\sqrt {6}}{2},x_{2}=-1-\frac {\sqrt {6}}{2}$,所以这位同学是乙,故选 B.

3.「2025宁夏银川六中月考」下面是小明解一元二次方程的过程,请认真阅读并完成相应的任务。
解：$ 3x^{2}+12x - 9 = 0 $。
二次项系数化为1,得$ x^{2}+4x - 3 = 0 $。…第一步
移项,得$ x^{2}+4x = 3 $。 ……………………… 第二步
配方,得$ x^{2}+4x + 16 = 3 + 16 $,即$ (x + 4)^{2} = 19 $。………
……………………………………………………………… 第三步
由此,可得$ x + 4 = \pm \sqrt{19} $。 ………………… 第四步
所以$ x_{1} = \sqrt{19} - 4 $,$ x_{2} = -\sqrt{19} - 4 $。 ……… 第五步
完成下列任务：
(1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程,此过程所体现的数学思想是降次(填“消元”或“降次”)；“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式(填“完全平方公式”或“平方差公式”)。
(2)“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质 1。
(3)小明同学解题过程中,从第三步开始出现错误,请直接写出正确的结果：$x_{1}=\sqrt {7}-2,x_{2}=-\sqrt {7}-2$。

答案： 解析
(1)降次;完全平方公式.
(2)等式的基本性质 1.
(3)$3x^{2}+12x-9=0.$
二次项系数化为 1,得$x^{2}+4x-3=0.$
移项,得$x^{2}+4x=3.$
配方,得$x^{2}+4x+4=3+4$,即$(x+2)^{2}=7.$
由此,可得$x+2=\pm \sqrt {7}$,所以$x_{1}=\sqrt {7}-2,x_{2}=-\sqrt {7}-2.$
故从第三步开始出现错误,正确结果为$x_{1}=\sqrt {7}-2,x_{2}=-\sqrt {7}-2.$

4. 用配方法解方程：
(1)「2025上海交大二附中期中」$ 2x^{2}-4x - 9 = 0 $。
(2)「2025江苏宿迁宿豫期中」$ 4x^{2}-12x - 7 = 0 $。
(3)「2025上海存志学校月考」$ 2x^{2}-3x - 3 = 0 $。
(4)$ (x - 3)(2x + 1) = -5 $。

答案： 解析
(1)$2x^{2}-4x-9=0,\therefore x^{2}-2x-\frac {9}{2}=0,\therefore x^{2}-2x=\frac {9}{2},\therefore x^{2}-2x+1=\frac {9}{2}+1,\therefore (x-1)^{2}=\frac {11}{2},\therefore x-1=\pm \frac {\sqrt {22}}{2},\therefore x_{1}=\frac {2+\sqrt {22}}{2},x_{2}=\frac {2-\sqrt {22}}{2}.$
(2)$4x^{2}-12x-7=0,$
$\therefore 4x^{2}-12x=7,\therefore x^{2}-3x=\frac {7}{4},$
$\therefore x^{2}-3x+\frac {9}{4}=\frac {7}{4}+\frac {9}{4}$,即$(x-\frac {3}{2})^{2}=4,$
$\therefore x-\frac {3}{2}=\pm 2,\therefore x_{1}=\frac {7}{2},x_{2}=-\frac {1}{2}.$
(3)$2x^{2}-3x-3=0,$
$\therefore x^{2}-\frac {3}{2}x-\frac {3}{2}=0,\therefore x^{2}-\frac {3}{2}x=\frac {3}{2},$
$\therefore x^{2}-\frac {3}{2}x+\frac {9}{16}=\frac {3}{2}+\frac {9}{16},\therefore (x-\frac {3}{4})^{2}=\frac {33}{16},$
$\therefore x-\frac {3}{4}=\pm \frac {\sqrt {33}}{4},\therefore x_{1}=\frac {3+\sqrt {33}}{4},x_{2}=\frac {3-\sqrt {33}}{4}.$
(4)原方程可化为$x^{2}-\frac {5}{2}x=-1,$
$\therefore x^{2}-\frac {5}{2}x+\frac {25}{16}=\frac {9}{16}$,即$(x-\frac {5}{4})^{2}=\frac {9}{16},$
$\therefore x-\frac {5}{4}=\pm \frac {3}{4},\therefore x_{1}=2,x_{2}=\frac {1}{2}.$