《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

9. 易错题「2025 内蒙古赤峰期中,」已知一元二次方程$x^{2} - 6x + 8 = 0的两个根恰好分别是等腰\triangle ABC$的底边长和腰长,则$\triangle ABC$的周长为(A)
A.10
B.10 或 8
C.9
D.8

答案： A x²-6x+8=0,(x-4)(x-2)=0,所以x-4=0或x-2=0,解得x₁=4,x₂=2,因为2,2,4无法作为三角形的三边长,所以这个等腰三角形的腰长为4,底边长为2,所以这个三角形的周长为4+4+2=10.故选A.

10. 「2024 河南南阳实验中学月考,」若实数$m$、$n满足(m^{2} + 3n^{2})^{2} - 4(m^{2} + 3n^{2}) - 12 = 0$,则$m^{2} + 3n^{2}$的值为(B)
A.2
B.6
C.6 或 - 2
D.6 或 2

答案： B 设m²+3n²=y,则原方程可化为y²-4y-12=0,(y-6)(y+2)=0,解得y₁=6,y₂=-2,因为m²+3n²≥0,所以m²+3n²的值为6.故选B.

11. 「2025 湖北松滋期中,」如图,$E为矩形ABCD对角线AC$上的一点,$AE = AB = 3$,$AD = 4$,则方程$x^{2} + 6x - 16 = 0$的正数解是(C)
A.线段$AE$的长
B.线段$BE$的长
C.线段$CE$的长
D.线段$AC$的长

答案： C x²+6x-16=0,(x-2)(x+8)=0,
∴x-2=0或x+8=0,解得x=2或x=-8.
∵四边形ABCD是矩形,AE=AB=3,
∴BC=AD=4,∠ABC=90°,
∴$AC=\sqrt{AB²+BC²}=5,$
∴CE=AC-AE=5-3=2.
∵方程x²+6x-16=0的正数解是线段CE的长.故选C.

12. 「」阅读材料：$\because (x + a)(x + b) = x^{2} + (a + b)x + ab$,$\therefore x^{2} + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$.
这就是说,对于二次三项式$x^{2} + px + q$,若能找到两个数$a$,$b$,使$\begin{cases}a + b = p,\\ab = q,\end{cases} 就有x^{2} + px + q = x^{2} + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$.这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项系数”,即$a$,$b$的乘积等于常数项,$a$,$b$的和为一次项系数,利用这种因式分解的方法解下列一元二次方程.
(1)$x^{2} - 3x - 4 = 0$.
(2)$x^{2} + 4x - 5 = 0$.

答案：
(1)
∵x²-3x-4=0,
∴(x-4)(x+1)=0,
∴x-4=0或x+1=0,
∴x₁=4,x₂=-1.
(2)
∵x²+4x-5=0,
∴(x+5)(x-1)=0,
∴x+5=0或x-1=0,
∴x₁=-5,x₂=1.

13. 新运算能力对于实数$a$,$b$,新定义一种运算“※”：
$a※b = \begin{cases}ab - b^{2}(a \geq b),\\b^{2} - ab(a ＜ b).\end{cases} $
例如：$\because 4 ＞ 1$,$\therefore 4※1 = 4×1 - 1^{2} = 3$.
(1)计算：$2※(- 1) = $-3,$(- 1)※2 = $6.
(2)若$x_{1}和x_{2}是方程x^{2} - 6x - 7 = 0$的两个根,且$x_{1} ＜ x_{2}$,求$x_{1}※x_{2}$的值.56
(3)若$x※2与3※x$的值相等,求$x$的值.1或$\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$或4

答案：
(1)由题意知2※(-1)=2×(-1)-(-1)²=-2-1=-3.(-1)※2=2²-(-1)×2=4+2=6.故答案为-3;6.
(2)解方程x²-6x-7=0,得x=-1或x=7.因为x₁＜x₂,所以x₁=-1,x₂=7,所以x₁※x₂=(-1)※7=7²-(-1)×7=56.
(3)由题意知x※2=3※x.当x＜2时,有2²-2x=3x-x²,整理得x²-5x+4=0,解得x₁=1,x₂=4(舍去).当2≤x≤3时,有2x-2²=3x-x²,整理得x²-x-4=0,解得$x₁=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2},x₂=\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}($舍去).当x＞3时,有2x-2²=x²-3x,整理得x²-5x+4=0,解得x₁=1(舍去),x₂=4.综上所述,x的值为1或$\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$或4.

14. 新应用意识新阅读理解题「2023 湖南永州道县期中」阅读材料,并完成相应的任务.
解含绝对值的方程：$x^{2} - 5|x| - 6 = 0$.
解：分两种情况：
当$x \geq 0$时,原方程可化为$x^{2} - 5x - 6 = 0$,解得$x = 6或x = - 1$(舍去).
当$x ＜ 0$时,原方程可化为$x^{2} + 5x - 6 = 0$,解得$x = - 6或x = 1$(舍去).
综上所述,原方程的解是$x_{1} = 6$,$x_{2} = - 6$.
任务：请参照上述方法解方程：$x^{2} - |x| - 2 = 0$.

答案： 分两种情况:当x≥0时,原方程可化为x²-x-2=0,解得x=2或x=-1(舍去).当x＜0时,原方程可化为x²+x-2=0,解得x=-2或x=1(舍去).综上所述,原方程的解是x₁=2,x₂=-2.