《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

1. 利用公式法解一元二次方程$3x^{2}-11x-1= 0可得两根为a$、$b$,且$a＞b$,则$a$的值为(D)

答案： D 3x²-11x-1=0,a=3,b=-11,c=-1,
∴Δ=(-11)²-4×3×(-1)=133＞0,
∴x=(11±√133)/(2×3)=(11±√133)/6,
∵一元二次方程3x²-11x-1=0的两根为a、b,且a＞b,
∴a的值为(11+√133)/6.故选D.

2. 「2025湖南娄底双峰月考」在用求根公式$x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$求一元二次方程的根时,小珺正确地代入了$a$,$b$,$c$之后,得到$x= \frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4×2×(-1)}}{2×2}$,则她求解的一元二次方程是(A)
A.$2x^{2}-3x-1= 0$
B.$2x^{2}+4x-1= 0$
C.$-x^{2}-3x+2= 0$
D.$3x^{2}-2x+1= 0$

答案： A 根据x=(3±√[(-3)²-4×2×(-1)])/(2×2)以及求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a),对应求出a=2,b=-3,c=-1,则该一元二次方程为2x²-3x-1=0,故选A.

3. 「2025甘肃嘉峪关五中期中」嘉嘉同学解一元二次方程$2x^{2}-x-1= 0$的过程如下.
解：$2x^{2}-x-1= 0$,①
$a= 2$,$b= 1$,$c= 1$,②
$\Delta=b^{2}-4ac= 2^{2}-4= 0$,③
方程有两个相等的实数根$x_{1}= x_{2}= -\frac{b}{2a}= -\frac{1}{4}$. ④
(1)嘉嘉解方程的方法是公式法(填“公式法”或“配方法”),他的求解过程从第②步开始出现错误.
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤,并求出方程的根.
(2)解：$2x^{2}-x-1=0$中，$a=2$，$b=-1$，$c=-1$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×2×(-1)=1+8=9>0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{1\pm3}{4}$，
$\therefore x_{1}=\frac{1+3}{4}=1$，$x_{2}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$.

答案：
(1)公式法;②.
(2)2x²-x-1=0中,a=2,b=-1,c=-1,
∴Δ=b²-4ac=(-1)²-4×2×(-1)=1+8=9＞0,
∴x=(-(-1)±√9)/(2×2)=(1±3)/4,
∴x₁=1,x₂=-1/2.

4. 用公式法解下列方程.
(1)$x^{2}-x-7= 0$.
(2)$3x^{2}-2x= 1$.
(3)$7x^{2}-\sqrt{6}x-5= 0$.
(4)$(3x-2)(x+2)= 28$.

答案：
(1)
∵a=1,b=-1,c=-7,
∴b²-4ac=(-1)²-4×1×(-7)=29＞0,
∴x=(1±√29)/2,
∴x₁=(1+√29)/2,x₂=(1-√29)/2.
(2)整理,得3x²-2x-1=0,
∴a=3,b=-2,c=-1,
∴b²-4ac=(-2)²-4×3×(-1)=4+12=16＞0,
∴x=(2±√16)/(2×3)=(2±4)/6,
∴x₁=1,x₂=-1/3.
(3)
∵a=7,b=-√6,c=-5,
∴b²-4ac=6+140=146＞0,
∴x=(-(-√6)±√146)/(2×7)=(√6±√146)/14,
∴x₁=(√6-√146)/14,x₂=(√6+√146)/14.
(4)整理,得3x²+4x-32=0,
∴a=3,b=4,c=-32,
∴b²-4ac=16-4×3×(-32)=400,
∴x=(-4±√400)/(2×3)=(-4±20)/6,
∴x₁=-4,x₂=8/3.

5. 「2024上海中考」以下一元二次方程有两个相等实数根的是(D)
A.$x^{2}-6x= 0$
B.$x^{2}-9= 0$
C.$x^{2}-6x+6= 0$
D.$x^{2}-6x+9= 0$

答案： D 由x²-6x=0知Δ=(-6)²-4×0=36＞0,
∴x²-6x=0有两个不等实数根,故A不符合题意;由x²-9=0知Δ=0²-4×(-9)=36＞0,
∴x²-9=0有两个不等实数根,故B不符合题意;由x²-6x+6=0知Δ=(-6)²-4×6=36-24=12＞0,
∴x²-6x+6=0有两个不等实数根,故C不符合题意;由x²-6x+9=0知Δ=(-6)²-4×9=36-36=0,
∴x²-6x+9=0有两个相等实数根,故D符合题意.故选D.

6. 「2024云南中考」若一元二次方程$x^{2}-2x+c= 0$无实数根,则实数$c$的取值范围为c＞1.

答案： c＞1

7. 「2024江苏南通中考」已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2x+k= 0$有两个不相等的实数根,请写出一个满足题意的$k$的值：-1.

答案： -1（答案不唯一）

8. 「2023湖北荆州中考」已知关于$x的一元二次方程kx^{2}-(2k+4)x+k-6= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)当$k= 1$时,用配方法解方程.

答案：
(1)
∵关于x的一元二次方程kx²-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=[-(2k+4)]²-4k(k-6)＞0,且k≠0,解得k＞-2/5且k≠0.
(2)当k=1时,原方程为x²-(2×1+4)x+1-6=0,即x²-6x-5=0,移项得x²-6x=5,配方得x²-6x+9=5+9,即(x-3)²=14,所以x-3=±√14,解得x₁=3+√14,x₂=3-√14.