《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

10.「2024 四川内江中考,」已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-px + 1 = 0 $($ p $ 为常数)有两个不相等的实数根 $ x_{1} $ 和 $ x_{2} $.
(1) 填空：$ x_{1}+x_{2}= $$p$,$ x_{1}x_{2}= $$1$.
(2) 求 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}},x_{1}+\frac{1}{x_{1}} $.
由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=p,x_{1}x_{2}=1$,$\therefore \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$.$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$,$\therefore x_{1}^{2}-px_{1}+1=0$,易知$x_{1}≠0,\therefore x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$,即$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$.
(3) 已知 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 2p + 1 $,求 $ p $ 的值.
由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=p,x_{1}x_{2}=1$,$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1,\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p+1$,$\therefore p^{2}-2=2p+1$,即$p^{2}-2p-3=0$,解得$p_{1}=3,p_{2}=-1$,在$x^{2}-px+1=0$中,$a=1,b=-p,c=1$,当$p=3$时,$\Delta=(-p)^{2}-4=9-4=5＞0$;当$p=-1$时,$\Delta=(-p)^{2}-4=-3＜0,\therefore p=3$.

答案： 解析
(1)$p:1$.
(2)由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=p,x_{1}x_{2}=1$,$\therefore \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$.$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$,$\therefore x_{1}^{2}-px_{1}+1=0$,易知$x_{1}≠0,\therefore x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$,即$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$.
(3)由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=p,x_{1}x_{2}=1$,$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1,\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p+1$,$\therefore p^{2}-2=2p+1$,即$p^{2}-2p-3=0$,解得$p_{1}=3,p_{2}=-1$,在$x^{2}-px+1=0$中,$a=1,b=-p,c=1$,当$p=3$时,$\Delta=(-p)^{2}-4=9-4=5＞0$;当$p=-1$时,$\Delta=(-p)^{2}-4=-3＜0,\therefore p=3$.

11.新推理能力新代数推理阅读理解：
材料一：若三个非零实数 $ x,y,z $ 中有一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实数 $ x,y,z $ 构成“和谐三数组”.
材料二：若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $ 的两根分别为 $ x_{1},x_{2} $,则有 $ x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a},x_{1}x_{2}= \frac{c}{a} $.
问题解决：
(1) 请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数：____.
(2) 若 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a,b,c $ 均不为 $ 0) $ 的两根,$ x_{3} $ 是关于 $ x $ 的方程 $ bx + c = 0(b,c $ 均不为 $ 0) $ 的解. 求证：$ x_{1},x_{2},x_{3} $ 可以构成“和谐三数组”.

答案： 解析
(1)$\because \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6},\therefore \frac{6}{5},2,3$能构成“和谐三数组”,故答案为$\frac{6}{5},2,3$(答案不唯一).
(2)证明:$\because x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0$($a,b,c$均不为 0)的两根,$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$,$\therefore \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c}$,$\because x_{3}$是关于$x$的方程$bx+c=0$($b,c$均不为 0)的解,$\therefore x_{3}=-\frac{c}{b},\therefore \frac{1}{x_{3}}=-\frac{b}{c},\therefore \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{x_{3}}$,$\therefore x_{1},x_{2},x_{3}$可以构成“和谐三数组”.

1.「2025 湖北随州期中」已知 $ a $ 和 $ b $ 是方程 $ x^{2}+2024x - 4 = 0 $ 的两个解,则 $ a^{2}+2023a - b $ 的值为(D)
A.2020
B.2024
C.2026
D.2028

答案： D 由条件可知$a^{2}+2024a-4=0,a+b=-2024,\therefore a^{2}+2024a=4,\therefore a^{2}+2023a-b=a^{2}+2024a-(a+b)=4-(-2024)=4+2024=2028$,故选 D.

2.「2025 湖南衡阳月考」若实数 $ a、b $ 分别满足 $ a^{2}-3a + 2 = 0,b^{2}-3b + 2 = 0 $,且 $ a \neq b $,则 $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}= $$\frac{3}{2}$.

答案： 答案 $\frac{3}{2}$
解析 $\because a$、$b$分别满足$a^{2}-3a+2=0,b^{2}-3b+2=0$,且$a≠b,\therefore a$、$b$可以看作是一元二次方程$x^{2}-3x+2=0$的两个实数根,$\therefore a+b=3,ab=2,\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{3}{2}$.故答案为$\frac{3}{2}$.

3.已知 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}+5x + 2 = 0 $ 的两个实数根,求代数式的值：
① $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $.21
② $ |x_{1}-x_{2}| $.$\sqrt{17}$
③ $ (2x_{1}+1)(2x_{2}+1) $.-1

答案： 解析 $\because x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}+5x+2=0$的两个实数根,$\therefore x_{1}+x_{2}=-5,x_{1}x_{2}=2$.①$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(-5)^{2}-2×2=21$.②$|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{(-5)^{2}-4×2}=\sqrt{17}$.③$(2x_{1}+1)(2x_{2}+1)=4x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2})+1=4×2+2×(-5)+1=-1$.