《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

6. 新考向 阅读理解题 用乘法公式$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b) \cdot x + ab$的逆运算来进行因式分解,我们把这种方法叫做十字相乘法,即$x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$.
例如：分解因式$x^2 + 5x + 6$时,$a + b = 5$,$ab = 6$. 我们把6可以分解为$6 = 1 × 6$,$6 = -1 × (-6)$,$6 = 2 × 3$,$6 = -2 × (-3)$；发现当$a = 2$,$b = 3$时,$a + b$正好是5,这样我们就可以把$x^2 + 5x + 6分解为(x + 2)(x + 3)$.
试用十字相乘法解下列一元二次方程：
(1) $x^2 + 3x + 2 = 0$.
(2) $x^2 - 5x + 6 = 0$.
(3) $x^2 - 5x - 6 = 0$.

答案： 6.解析
(1)x²+3x+2=0,(x+1)(x+2)=0,所以x₁=-1,x₂=-2.
(2)x²-5x+6=0,(x-2)(x-3)=0,所以x₁=2,x₂=3.
(3)x²-5x-6=0,(x-6)(x+1)=0,所以x₁=6,x₂=-1.

7. 用公式法解方程：
(1) 「2025河南南召期中」$2x^2 - x - 2 = 0$.
(2) 「2025福建福州月考」$x^2 + 1 = 2\sqrt{5}x$.
(3) $y(y - 3) = 2 + y(1 - 3y)$.

答案： 7.解析
(1)2x²-x-2=0,这里a=2,b=-1,c=-2,
∵Δ=b²-4ac=(-1)²-4×2×(-2)=17＞0,
∴x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(-(-1)±√17)/(2×2)=(1±√17)/4,
∴x₁=(1+√17)/4,x₂=(1-√17)/4.
(2)方程整理得x²-2√5x+1=0,这里a=1,b=-2√5,c=1,
∵Δ=b²-4ac=(-2√5)²-4×1×1=20-4=16,
∴x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(2√5±4)/(2×1)=√5±2.
∴x₁=√5+2,x₂=√5-2.
(3)方程整理得2y²-2y-1=0.
∵a=2,b=-2,c=-1,
∴Δ=b²-4ac=(-2)²-4×2×(-1)=12＞0,
∴y=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(2±2√3)/(2×2)=(1±√3)/2,
∴y₁=(1+√3)/2,y₂=(1-√3)/2.

8. 阅读下列解题过程,并回答问题.
解方程：$|x - 3| = 2$.
解：当$x - 3 \geq 0$时,原方程可化为$x - 3 = 2$,解得$x = 5$；
当$x - 3 ＜ 0$时,原方程可化为$x - 3 = -2$,解得$x = 1$.
所以原方程的解是$x = 5或x = 1$.
解方程：$x^2 - 3|x - 1| = 1$.

答案： 8.解析 当x-1≥0,即x≥1时,方程可化为x²-3x+2=0,即(x-2)(x-1)=0,解得x=1或x=2;当x-1＜0,即x＜1时,方程可化为x²+3x-4=0,即(x-1)(x+4)=0,解得x=-4或x=1(舍去),
∴x₁=1,x₂=2,x₃=-4.

9. 「2025河南虞城期中」阅读材料：
为了解方程$(x^2 - 1)^2 - 5(x^2 - 1) + 4 = 0$,我们可以将$x^2 - 1$看作一个整体,设$x^2 - 1 = y$,那么原方程可化为$y^2 - 5y + 4 = 0$,解得$y_1 = 1$,$y_2 = 4$.
当$y = 1$时,$x^2 - 1 = 1$,$\therefore x^2 = 2$,$\therefore x = \pm \sqrt{2}$；
当$y = 4$时,$x^2 - 1 = 4$,$\therefore x^2 = 5$,$\therefore x = \pm \sqrt{5}$.
故原方程的解为$x_1 = \sqrt{2}$,$x_2 = -\sqrt{2}$,$x_3 = \sqrt{5}$,$x_4 = -\sqrt{5}$.
解答问题：
请利用以上知识解方程：$(x^2 - x)^2 - 3(x^2 - x) - 4 = 0$.

答案： 9.解析 设x²-x=m,那么原方程可化为m²-3m-4=0,即(m-4)(m+1)=0,解得m₁=-1,m₂=4.当m=-1时,x²-x=-1,即x²-x+1=0.
∵a=1,b=-1,c=1,
∴Δ=b²-4ac=1-4=-3＜0,
∴此一元二次方程无解.当m=4时,x²-x=4,即x²-x-4=0.
∵a=1,b=-1,c=-4,
∴Δ=b²-4ac=1+16=17＞0,
∴x=(1±√17)/2,
∴原方程的解为x₁=(1+√17)/2,x₂=(1-√17)/2.