《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

1. 如图,已知$\triangle ABC$,则选项中的三角形与$\triangle ABC$相似的是(D)

答案： D
∵AB=AC=6,∠B=75°,
∴∠C=∠B=75°,
∴∠A=30°,
　根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可知D中三角形与△ABC相似.

2. 如图,点$D在\triangle ABC的边AC$上,添加一个条件,使得$\triangle ADB \backsim \triangle ABC$,下列不正确的是(C)

A.$\angle ABD = \angle C$
B.$\angle ADB = \angle ABC$
C.$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CB}$
D.$\frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC}$

答案： C　选项A,若∠ABD=∠C,∠A=∠A,则△ADB∽△ABC,故此选项不符合题意;
　选项B,若∠ADB=∠ABC,∠A=∠A,则△ADB∽△ABC,故此选项不符合题意;
　选项C,当$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CB}$时,由于AB和BD的夹角与AC和CB的夹角不一定相等,故不能判定△ADB∽△ABC,故此选项符合题意;
　选项D,若$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$,∠A=∠A,则△ADB∽△ABC,故此选项不符合题意.故选C.
易错警示　有两边成比例和一角相等的时候,一定要注意相等的角是不是成比例的两边的夹角

3. 如图,在三角形纸片$ABC$中,$AB = 6$,$AC = 4$,$BC = 8$,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与$\triangle ABC$相似的是(A)

答案： A　在三角形纸片ABC中,AB=6,BC=8,AC=4.
A.
∵$\frac{CD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{AC}{BC}$,∠C=∠C,
∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似,故此选项符合题意;
B.
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{6}\neq\frac{AC}{AB}$,
∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似,故此选项不符合题意;
C.
∵$\frac{BD}{AB}=\frac{4}{6}\neq\frac{AB}{BC}$,
∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似,故此选项不符合题意;
D.
∵$\frac{BD}{BC}=\frac{4}{8}\neq\frac{AB}{BC}$,
∴沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似,故此选项不符合题意.
　故选A.

4. 如图,用一个卡钳测量某个零件的内孔直径$AB$,其中$AD = BC$,$\frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC} = 3$,量得$CD = 4\mathrm{cm}$,则$AB = $12$\mathrm{cm}$。

答案： 答案　12
　解析
∵AD,BC相交于O,
∴∠COD=∠AOB,
∵$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$,
∴△AOB∽△DOC,
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OD}$,
∵$\frac{AB}{CD}=3$,
∴AB=4×3=12(cm),故答案为12.

5. 如图,$BD平分\angle ABC$,且$AB = 4$,$BC = 6$,则当$BD = $$2\sqrt{6}$时,$\triangle ABD \backsim \triangle DBC$。

答案： 答案　$2\sqrt{6}$
　解析
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,当$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC}$时,△ABD∽△DBC,
∵AB=4,BC=6,
∴$\frac{4}{BD}=\frac{BD}{6}$,解得BD=$2\sqrt{6}$.故答案为$2\sqrt{6}$.

6. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D是AB$上一点,且$AD = 1$,$AB = 3$,$AC = \sqrt{3}$。求证：$\triangle ACD \backsim \triangle ABC$。

答案： 证明
∵AD=1,AB=3,AC=$\sqrt{3}$,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$,
　又
∵∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC.

7. 如图,点$E$,$F分别在正方形ABCD的边BC$,$CD$上,$BE = 3$,$EC = 6$,$CF = 2$。求证：$\triangle ABE \backsim \triangle ECF$。

答案： 证明
∵BE=3,EC=6,CF=2,
∴BC=3+6=9,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°,
∵$\frac{AB}{CE}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$,$\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}$,
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BE}{CF}$,
∴△ABE∽△ECF.

8. 将三角形纸片($\triangle ABC$)按如图所示的方式折叠,使点$B落在边AC$上,记为点$B'$,折痕为$EF$。已知$AB = AC = 3$,$BC = 4$,若以点$B'$、$F$、$C为顶点的三角形与\triangle ABC$相似,那么$BF$的长度是______$\frac{12}{7}$或2。

答案： 答案　$\frac{12}{7}$或2
　解析　由折叠易知BF=B'F,在△B'FC与△ABC中,∠ACB=∠B'CF.
　若$\frac{B'C}{AC}=\frac{CF}{CB}$,则△B'FC∽△ABC,易知B'F=B'C,
∵AB=AC=3,B'F=BF,
∴$\frac{B'F}{3}=\frac{4 - B'F}{4}$,解得B'F=$\frac{12}{7}$.
　若$\frac{B'C}{BC}=\frac{CF}{CA}$,则△B'CF∽△BCA.易知B'F=CF,
∵AB=AC=3,BF=B'F,
∴BF=CF=$\frac{1}{2}BC = 2$.
　综上所述，BF的长度是$\frac{12}{7}$或2.
　易错点　相似三角形的对应关系不确定时，需分类讨论，避免漏解.