《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

8. 学科一线三等
特色角模型
「2025重庆实验中学月考,★☆」如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,若A的坐标为(1,{6}/{5}),则点C的坐标为( )

A.(-1,{6}/{5})
B.(-{6}/{5},1)
C.(-{12}/{5},1)
D.(-{6}/{5},2)

答案：
8.B　如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
∴∠OEA=∠CFO=90°。

∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOE+∠COF=90°。
∵∠OAE+∠AOE=90°，
∴∠OAE=∠COF，在△AOE与△OCF中，∠AEO=∠OFC，∠OAE=∠COF，AO=OC，
∴△AOE≌△OCF(AAS)。又
∵A的坐标为(1，$\frac{6}{5}$)，
∴CF=OE=1，OF=AE=$\frac{6}{5}$，
∴C(-$\frac{6}{5}$，1)。故选B。

9. 「2025山西太原月考,★☆」如图,正方形ABCD的边长为4cm,将该正方形沿AC方向平移√{2}cm,得到正方形A'B'C'D',A'D'交CD于点E,A'B'交BC于点F,则A'E的长为 ( )

A.√{2}cm
B.2cm
C.3cm
D.2√{2}cm

答案：
9.C　连接DD'，如图。

∵正方形ABCD平移得到正方形A'B'C'D'，
∴∠CA'D'=∠ACD=45°，DD'//AC'，
∴∠EDD'=∠ED'D=∠ACD=45°，
∴△D'DE是等腰直角三角形，
∵DD'=$\sqrt{2}$cm，
∴DE=D'E=1cm，
∵A'D'=AD=4cm，
∴A'E=A'D'−D'E=4−1=3(cm)，故选C。

10. 「2024内蒙古呼伦贝尔中考,★☆」如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连接DE,EF。若△DEF与△DEC关于直线DE对称,则△BEF的周长是 (A)


A.2√{2}
B.2+√{2}
C.4-2√{2}
D.√{2}

答案： 10.A
∵正方形ABCD的边长是2，
∴BD=$\sqrt{CD²+CB²}$=2√2，
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴DC=DF=2，EC=EF，
∴BF=2√2−2，
∴△BEF的周长=BF+BE+EF=BF+BE+EC=BF+BC=2√2−2+2=2√2。故选A。

11. 「2024四川泸州中考,★☆」如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE= BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点,G是边AB上的点,AG= 2GB,则OM+{1}/{2}FG的最小值是 ( )

A.4
B.5
C.8
D.10

答案：
11.B
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，又
∵AE=BF，
∴△ADE≌△BAF(SAS)，
∴∠ADE=∠BAF，
∴∠DOF=∠ADO+∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°，
∵点M是DF的中点，
∴OM=$\frac{1}{2}$DF，如图所示，在AB延长线上截取BH=BG，连接FH，DH。

∵FB=FB，∠FBG=∠FBH=90°，BG=BH，
∴△FBG≌△FBH(SAS)，
∴FH=FG，
∴OM+$\frac{1}{2}$FG=$\frac{1}{2}$DF+$\frac{1}{2}$HF=$\frac{1}{2}$(DF+HF)，
∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+$\frac{1}{2}$FG有最小值，最小值为DH的长的一半，
∵AG=2GB，AB=6，
∴BH=BG=2，
∴AH=8。在Rt△ADH中，由勾股定理得DH=$\sqrt{AD²+AH²}$=10，
∴OM+$\frac{1}{2}$FG的最小值为5，故选B。

12. 「2023浙江绍兴中考,★☆」如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足。连接EF,AG,并延长AG交EF于点H。
(1) 求证：∠DAG= ∠EGH。
(2) 判断AH与EF是否垂直,并说明理由。

答案：

(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE=90°，
∵GE⊥CD，
∴∠GEC=90°，
∴AD//GE，
∴∠DAG=∠EGH。
(2)AH⊥EF。理由如下，连接GC交EF于点O，如图。

∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG=∠CDG=45°，又
∵DG=DG，AD=CD，
∴△ADG≌△CDG(SAS)，
∴∠DAG=∠DCG。
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ECF=90°，又
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形FCEG为矩形，
∴OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠DAG=∠OEC，由
(1)得∠DAG=∠EGH，
∴∠EGH=∠OEC，
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°，
∴∠GHE=90°，
∴AH⊥EF。

13. 新课标几何直观
如图1,在正方形ABCD中,P为对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA= PE,PE交CD于F,连接CE。
(1) 求证：△PCE是等腰直角三角形。
(2) 如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC= 120°时,判断△PCE的形状,并说明理由。

答案：

(1)证明:如图1。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°。在△PDA和△PDC中，PD=PD，∠PDA=∠PDC，DA=DC，
∴△PDA≌△PDC，
∴PA=PC，∠3=∠1，
∵PA=PE，
∴∠2=∠3，PA=PE=PC，
∴∠1=∠2，又
∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，
∴∠FPC=∠EDF=90°，
∵PE=PC，
∴△PEC是等腰直角三角形。

(2)△PCE是等边三角形。理由:如图2。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，∠ADC=∠ABC=120°，在△PDA和△PDC中，PD=PD，∠PDA=∠PDC，DA=DC，
∴△PDA≌△PDC，
∴PA=PC，∠3=∠1，
∵PA=PE，
∴∠2=∠3，PA=PE=PC，
∴∠1=∠2，又
∵∠DFE=∠PFC，
∴∠EPC=∠EDC，
∵∠ADC=120°，
∴∠EDC=60°，
∴∠EPC=60°，
∵PE=PC，
∴△PEC是等边三角形。