《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

1. [2025山东金乡月考]对于实数$a,b$定义运算“※”为$a※b= a+b^{2}$,例如$3※2= 3+2^{2}= 7$,则关于$x的方程x※(x+1)= 5$的解是x₁=-4,x₂=1.

答案： x₁=-4,x₂=1

2. [2025山西太原月考]我们规定：对于任意实数$a,b,c,d有[a,b]*[c,d]= ac-bd$,其中等式右边是常用的乘法和减法运算.如：$[3,2]*[5,1]= 3×5-2×1= 13$,已知关于$x的方程[x,1-x]*[x+2,m]= 0$的一个根为2.
(1)$m$的值为-8.
(2)求方程的另一个根.
方程的另一个根是4

答案：
(1)-8
(2)方程的另一个根是4

3. [2024四川巴中期末]阅读并回答问题：$x^{2}= -1$在实数范围内无解,如果存在一个数$i$,使$i^{2}= -1$,那么当$x^{2}= -1$时,有$x= \pm i$,从而$x= \pm i是方程x^{2}= -1$的两个根.据此可知：$i$可以运算,例如：$i^{3}= i^{2}×i= -1×i= -i$,则方程$x^{2}-2x+2= 0$的两根为x₁=1+i,x₂=1-i.(根用含$i$的式子表示)

答案： x₁=1+i,x₂=1-i

4. [2025江苏南京期中]定义：如果关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a,b,c$均为常数,$a≠0)$有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,则称这样的方程为“邻根方程”.
(1)下列方程中,是“邻根方程”的是____(填序号).
①$x^{2}+x= 0$；②$x^{2}-2x+1= 0$；③$x^{2}+3x+2= 0$.
①③(2)若$(x-2)(x+n)= 0$是“邻根方程”,求$n$的值.
n的值为-1或-3(3)若一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0(b,c$均为常数)为“邻根方程”,直接写出$b,c$满足的数量关系.
b,c满足的数量关系为b²-4c=1

答案：
(1)①③
(2)n的值为-1或-3
(3)b,c满足的数量关系为b²-4c=1

5. [2024河南汝州月考]阅读材料：
问题：已知方程$x^{2}+x-1= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为$y$,则$y= 2x$,所以$x= \frac{y}{2}$,把$x= \frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^{2}+\frac{y}{2}-1= 0$.化简,得$y^{2}+2y-4= 0$,故所求方程为$y^{2}+2y-4= 0$.这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求把所求方程化为一般形式)：
(1)已知方程$x^{2}+3x-2= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数.
(2)已知关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a、b、c$为常数,$a≠0)$有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.

答案：
(1)y²-3y-2=0
(2)cy²+by+a=0(c≠0,a≠0)