《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

6. 新考向 图形信息题「2025河南平顶山月考,★☆」依据所标数据,下列四边形不一定为矩形的是(A)

答案： A　选项A,
∵AD=BC=4,AB=CD=3,
∴四边形ABCD 是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意;选项B,
∵∠A=∠B=∠D=90°,
∴四边形ABCD是矩形,故选项B不符合题意;选项C，
∵∠A=∠B=90°,
∴∠A+∠B=180°,
∴AD//BC,
∵AD=BC=4,
∴四边形ABCD是平行四边形，又
∵∠A=90°,
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意;选项D,
∵AB=CD=3,AD=BC=4,
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=5,
∴AB²+BC²=AC²,
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D 不符合题意.故选A.

7. 「2025山西省实验中学期中,★☆」如图,在四边形$ABCD$中,连接$AC$,$BD$,点$E$,$F$,$G$,$H分别为AD$,$BD$,$CB和AC$的中点,顺次连接$EF$,$FG$,$GH和HE得到四边形EFGH$。若$AB⊥CD$,$AB = 8$,$CD = 12$,则四边形$EFGH$的面积等于(C)


A.36
B.32
C.24
D.20

答案： C
∵点E,F分别为AD,BD的中点，
∴EF是△ABD 的中位线，
∴EF=1/2AB=4,EF//AB,同理可得EH=1/2CD=6,EH//CD,GH=1/2AB=4,GH//AB,
∴EF//GH,EF=GH,
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AB⊥CD,
∴EF⊥EH,
∴平行四边形EFGH为矩形,
∴四边形EFGH的面积为6×4=24,故选C.

8. 「2024西藏中考,★☆」如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C = 90^{\circ}$,$AC = 12$,$BC = 5$,点$P是边AB$上任意一点,过点$P作PD⊥AC$,$PE⊥BC$,垂足分别为点$D$,$E$,连接$DE$,则$DE$的最小值是( )

A.$\frac{13}{2}$
B.$\frac{60}{13}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{30}{13}$

答案：
B　如图,连接CP,作CQ⊥AB于点Q,
　　　　　　　　　
∵∠ACB=90°,AC=12,BC=5,
∴AB=√(AC²+BC²)=√(12²+5²)=13,
∴S△ABC=1/2×13CQ=1/2×12×5,
∴CQ=60/13,
∵PD⊥AC,PE⊥BC,垂足分别为点D,E,
∴∠PDC=∠PEC=∠DCE=90°,
∴四边形PECD是矩形,
∴CP=DE,
∴当CP与CQ重合时,CP的长最小,此时DE的长最小,
∵CQ=60/13,
∴DE的最小值为60/13,故选B.

9. 「2025山东青岛胶州月考,★☆」如图,在平行四边形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,动点$E$以每秒1个单位长度的速度从点$A出发沿AC$方向运动,点$F$同时以每秒1个单位长度的速度从点$C出发沿CA$方向运动,若$AC = 12$,$BD = 8$,则经过2或10秒后,四边形$BEDF$是矩形。

答案： 2或10
　解析　设运动的时间为t秒,
∵四边形ABCD是平行四边形,AC=12,BD=8,
∴OA=OC=1/2AC=6,OB=OD=1/2BD=4,
∵AE=CF=t,
∴OE=OF=6 - t或OE=OF=t - 6,
∴四边形BEDF是平行四边形,
　易知当EF=BD时,四边形BEDF是矩形,
∴OE=OD,
∴6 - t=4或t - 6=4,
∴t=2或t=10,
∴经过2秒或10秒后，四边形BEDF是矩形,故答案为2或10.

10. 「2024山东广饶期中,★☆」如图,在$\triangle ABC$中,$O是边AC$上的一个动点,过点$O作直线MN// BC$,交$∠ACB的平分线于点E$,交$\triangle ABC的外角∠ACD的平分线于点F$。
(1)求证：$OE = OF$。
(2)若$CE = 12$,$CF = 5$,求$OC$的长。
(3)连接$AE$,$AF$,当点$O在边AC$上运动到什么位置时,四边形$AECF$是矩形？请说明理由。

答案： 解析　　
(1)证明:
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE =∠ECB,
∵MN//BC,
∴∠ECB=∠OEC,
∴∠ACE=∠OEC,
∴OE=OC.同理可得OC=OF,
∴OE=OF.
(2)
∵CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD,
∴∠ACE=1/2∠ACB,∠ACF=1/2∠ACD,
∵∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠ACE+∠ACF=1/2(∠ACB+∠ACD)=1/2×180°=90°,
∴EF=√(CE²+CF²)=√(12²+5²)=13,
∴OC=1/2EF=6.5,即OC的长为6.5.
(3)当O在AC的中点处时，四边形AECF是矩形.
　理由:当O为AC中点时,OA=OC,
　由
(1)可知,OC=OE=OF,
∴OA=OC=OE=OF,
∴四边形AECF为平行四边形,AC=EF,
∴平行四边形AECF为矩形.

11. 新课标 创新意识 新考向 实践操作题 某数学兴趣小组,准备将一张三角形纸片(如图)进行如下操作,并进行猜想和证明。
(1)用三角尺分别取$AB$,$AC的中点D$,$E$,连接$DE$,画$AF⊥DE于点F$,请按此要求作图。
(2)将(1)中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形(无缝隙无重叠),并用三角尺画出示意图。
(3)请判断(2)中所拼的四边形的形状,并说明理由。

答案：
解析　
(1)如图①.
　　　　　
(2)如图②.
(3)矩形.理由如下:如图,
∵∠MDB+∠BDE=180°,∠DEC+∠NEC=180°,
　　　　　　　　　　　　　　
∴点M、D、E、N在同一条直线上,
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE//BC,DE=1/2BC,
　易知MD+EN=DE,
∴MN=MD+DE+EN=2DE=BC,
∴四边形MBCN为平行四边形,
　由题意可得△MDB≌△FDA,△AFE≌△CNE,
∴∠N=∠AFE,
∵AF⊥DE,
∴∠AFE=90°,
∴∠N=90°,
∴四边形MBCN为矩形.