《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

9.跨生物鹦鹉螺曲线「2025安徽蚌埠期中改编」鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比,如图,P是AB的黄金分割点$(AP ＞ BP)$,若线段AB的长为4 cm,则AP的长为(2√5 - 2)cm.

答案： 答案 (2√5 - 2) 解析
∵P是AB的黄金分割点(AP＞BP),AB = 4 cm,
∴AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×4=(2√5 - 2)cm.

10.「2025上海浦东新区期中」边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为____.

答案：
答案 15 解析 如图,
∵BF//DE,
∴△ABF∽△ADE,
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BF}{DE}$,
∵AB = 4,AD = 4 + 6 + 10 = 20,DE = 10,
∴$\frac{4}{20}$=$\frac{BF}{10}$,
∴BF = 2,
∴GF = 6 - 2 = 4,
∵CK//DE,
∴△ACK∽△ADE,
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{CK}{DE}$,
∵AC = 4 + 6 = 10,AD = A20,DE = 10,
∴$\frac{10}{20}$=$\frac{CK}{10}$,
∴CK = 5,
∴HK = 6 - 5 = 1,
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$(HK + GF)·GH=$\frac{1}{2}$×(1 + 4)×6 = 15.

11.「2025浙江杭州绿城育华学校月考」(12分)在$6×6$的方格纸中,请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).
(1)在图1中画出一个以点C为位似中心,且与$\triangle ABC位似的\triangle CDE$(相似比不为1).
(2)在图2中,仅用无刻度直尺(不使用直角)在线段AC上找一点M,使得$\frac {AM}{CM}= \frac {1}{2}$.

答案：
解析
(1)如图1,△CDE即为所求.
(2)如图2,取格点N,根据网格特点可知AN//BC,且AN:BC = 1:2,连接BN交AC于点M,此时△ANM∽△CBM,
∴$\frac{AM}{CM}$=$\frac{AN}{BC}$=$\frac{1}{2}$,则点M即为所求.

12.「2024陕西西安期末」(13分)如图,建筑物BC上有一根旗杆AB,小芳计划测量该建筑物的高度.方法如下:在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD,小芳沿CD方向后退,发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上,继续后退,发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上,已知旗杆$AB = 3$米,$FD = 4$米,$DE = 5$米,$EG = 1.5$米,点A、B、C在一条直线上,AC、FD均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC.

答案： 解析 由题意可得,∠ACE=∠EDF = 90°,∠AEC=∠FED,
∴△ACE∽△FDE,
∴$\frac{AC}{FD}$=$\frac{CE}{DE}$,即$\frac{3 + BC}{4}$=$\frac{CD + 5}{5}$,
∴CD=$\frac{5BC - 5}{4}$,由题意可得,∠BCG=∠FDG = 90°,∠BGC=∠FGD,
∴△BCG∽△FDG,
∴$\frac{BC}{FD}$=$\frac{CG}{DG}$,即$\frac{BC}{4}$=$\frac{CD + 5 + 1.5}{5 + 1.5}$,
∴6.5BC = 4(CD + 6.5),
∴6.5BC = 4×$\frac{5BC - 5}{4}$+ 26,
∴BC = 14米,即这座建筑物的高BC为14米.

13.「2023黑龙江佳木斯中考」(15分)如图①,
$\triangle ABC和\triangle ADE$是等边三角形,连接DC,点F,G,H分别是DE,DC和BC的中点,连接FG,FH.易证:$FH = \sqrt {3}FG$.
若$\triangle ABC和\triangle ADE$都是等腰直角三角形,且$∠BAC = ∠DAE = 90^{\circ}$,如图②,若$\triangle ABC和\triangle ADE$都是等腰三角形,且$∠BAC = ∠DAE = 120^{\circ}$,如图③,其他条件不变,判断FH和FG之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明.

答案：
解析 题图②中,FH = √2FG. 证明:连接AH,CE,AF,如图1,
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE = 90°,F,H分别是DE,BC的中点,
∴AH⊥BC,AF⊥DE,AH = CH=$\frac{1}{2}$BC,AF = EF=$\frac{1}{2}$DE,
∴∠CAH=∠EAF = 45°,
∴∠HAF=∠EAC,$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴△AHF∽△ACE,
∴$\frac{FH}{CE}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴CE = √2FH,
∵点F,G分别是DE,DC的中点,
∴CE = 2FG,
∴FH = √2FG. 题图③中,FH = FG. 证明:连接AH,CE,AF,如图2,
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE = 120°,
∴∠AED=∠ADE=∠ACB=∠B = 30°,
∵点F,H分别是DE,BC的中点,
∴AH⊥BC,AF⊥DE,∠CAH=∠EAF=$\frac{1}{2}$×120° = 60°,
∴∠HAF=∠EAC,$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{1}{2}$,
∴△AHF∽△ACE,
∴$\frac{FH}{CE}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{1}{2}$,
∴CE = 2FH,
∵点F,G分别是DE,DC的中点,
∴CE = 2FG,
∴FH = FG.