《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

5.「2025河南漯河郾城月考,」小刚用配方法解$ 2x^{2}-bx + a = 0 得 x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2} $,则b的值为(C)
A.-6
B.-3
C.6
D.3

答案： C $2x^{2}-bx+a=0,\therefore x^{2}-\frac {b}{2}x=-\frac {a}{2},\therefore x^{2}-\frac {b}{2}x+\frac {b^{2}}{16}=-\frac {a}{2}+\frac {b^{2}}{16},\therefore (x-\frac {b}{4})^{2}=\frac {b^{2}-8a}{16}$,则$\frac {3}{2}=\frac {b}{4},\therefore b=6$,故选 C.

6.「2023江苏连云港中考改编,」若$ W = 5x^{2}-4xy + y^{2}-2y + 8x + 3 $(x、y为实数),求W的最小值。

答案： 解析 $W=5x^{2}-4xy+y^{2}-2y+8x+3=x^{2}+4x^{2}-4xy+y^{2}-2y+8x+3=(4x^{2}-4xy+y^{2})-2y+x^{2}+8x+3=(2x-y)^{2}-2y+x^{2}+4x+4x+3=(2x-y)^{2}+4x-2y+x^{2}+4x+3=(2x-y)^{2}+2(2x-y)+1-1+x^{2}+4x+4-4+3=[(2x-y)^{2}+2(2x-y)+1]+(x^{2}+4x+4)-2=(2x-y+1)^{2}+(x+2)^{2}-2,$
∵x,y 为实数,$\therefore (2x-y+1)^{2}≥0,(x+2)^{2}≥0,$$\therefore W≥-2$,
∴W 的最小值为-2.,

(1)代数式$ x^{2}+6x + 12 $的最小值为3。
(2)代数式$ -x^{2}+2x + 9 $的最大值为10。

答案： 答案
(1)3
(2)10
解析
(1)$x^{2}+6x+12=(x+3)^{2}+3,$
当$x=-3$时,$(x+3)^{2}+3=3,$
因此$(x+3)^{2}+3$有最小值 3,即代数式$x^{2}+6x+12$的最小值为 3.故答案为 3.
(2)$\because -x^{2}+2x+9=-(x-1)^{2}+10,$
由于$(x-1)^{2}≥0$,所以$-(x-1)^{2}≤0,$
当$x=1$时,$-(x-1)^{2}+10=10,$
则$-x^{2}+2x+9$的最大值为 10.

7. 已知：$ x^{2}+\frac{1}{x^{2}} + 4(x + \frac{1}{x}) + 6 = 0 $,求下列各式的值。
(1)$ \frac{1}{x} + x $。 (2)$ \frac{1}{x} - x $。

答案： 7,解析
(1)$x^{2}+2+\frac {1}{x^{2}}+4(x+\frac {1}{x})+6-2=0,$$(x+\frac {1}{x})^{2}+4(x+\frac {1}{x})+4=0,$$(x+\frac {1}{x}+2)^{2}=0,x+\frac {1}{x}+2=0$,所以$x+\frac {1}{x}=-2.$
(2)由$x+\frac {1}{x}=-2$得$(x+\frac {1}{x})^{2}=(-2)^{2},$$x^{2}+2+\frac {1}{x^{2}}=4,x^{2}+2-4+\frac {1}{x^{2}}=0,$$(\frac {1}{x}-x)^{2}=0$,所以$\frac {1}{x}-x=0.$

变式1 「2024河南商水期中」已知代数式$ x^{2}-2x + 6 $可以利用配方法变形为$(x - 1)^{2} + 5 $,进而可知$ x^{2}-2x + 6 $的最小值是5。类似地,代数式$ y^{2}+y - 4 $的最小值是$-4\frac{1}{4}$。

答案： 变式 1 答案$-4\frac {1}{4}$
解析 $y^{2}+y-4=y^{2}+y+\frac {1}{4}-\frac {1}{4}-4=(y+\frac {1}{2})^{2}-4\frac {1}{4}≥-4\frac {1}{4}$,所以代数式$y^{2}+y-4$的最小值是$-4\frac {1}{4}.$

变式2 当x取何值时,代数式$ -x^{2}+6x + 7 $有最大值或最小值？并求出最大值或最小值。

答案： 变式 2 解析 $-x^{2}+6x+7=-(x^{2}-6x+9)+9+7=-(x-3)^{2}+16,\because -(x-3)^{2}≤0,\therefore -(x-3)^{2}+16≤16,$
当$x=3$时,$-(x-3)^{2}+16=16,$
故当$x=3$时,$-x^{2}+6x+7$有最大值,最大值为 16.