《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册北师大版》

1.「2025安徽亳州利辛期中」小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O、C、D、F、G五点在同一直线上,A、B、O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB.

答案： 1.解析
∵AD//EG,
∴∠ADO=∠EGF,又
∵∠AOD=∠EFG=90°,
∴△AOD∽△EFG,
∴$\frac{AO}{EF}=\frac{OD}{FG}$,
∵EF=1.8米,FG=2.4米,OD=20米,
∴$\frac{AO}{1.8}=\frac{20}{2.4}$,
∴AO=15米,同理得△BOC∽△AOD,$\frac{BO}{AO}=\frac{OC}{OD}$,即$\frac{BO}{15}=\frac{16}{20}$,
∴BO=12米,
∴AB=AO - BO=15 - 12=3(米),
∴旗杆的高AB是3米.

2.学习了相似三角形相关知识后,小明和小亮想利用“标杆”测量大楼的高度.如图,小明站立在地面点F处,小亮在点B处竖立“标杆”AB,使得小明的头顶E、标杆顶端A、楼顶端C在一条直线上(点F、B、D也在一条直线上).已知小明的身高EF= 1.5米,“标杆”AB= 2.5米,BD= 23米,FB= 2米.

(1)求大楼CD的高度为多少米(CD垂直于地面BD).
(2)小明站在原来的位置,小亮通过移动“标杆”AB,用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD= 11.5米,那么相对于第一次测量,“标杆”AB应该向大楼方向移动多少米?

答案：
2.解析
(1)如图,过点E作EH⊥CD于点H,交AB于点J,则四边形EFBJ,四边形EFDH都是矩形,
　　　　　　　
∴EF=BJ=DH=1.5米,BF=EJ=2米,DB=JH=23米,
∴EH=EJ+JH=25米,
∵AB=2.5米,
∴AJ=AB - BJ=2.5 - 1.5=1(米),
∵AJ//CH,
∴△EAJ∽△ECH,$\frac{AJ}{CH}=\frac{EJ}{EH}$,
∴$\frac{1}{CH}=\frac{2}{25}$,
∴CH=12.5米,
∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14(米).
∴大楼CD的高度为14米.
(2)如图,过点E作ET⊥CD于点T,交AB于点R.
　　　　　　　
∵AR//GT,
∴△AER∽△GET,$\frac{AR}{GT}=\frac{ER}{ET}$,由
(1)可知AR=1米,TD=1.5米,ET=25米,
∴$\frac{1}{11.5 - 1.5}=\frac{ER}{25}$,
∴ER=2.5米,
∵2.5 - 2=0.5(米),
∴“标杆”AB应该向大楼方向移动0.5米.

3.跨物理平面镜反射「2024山东青岛实验初级中学期末」【学科融合】如图1,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角r等于入射角i.

【问题解决】如图2,小亮在P处放置一面平面镜(平面镜的大小忽略不计),他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A,此时测得小亮到平面镜的距离CP为4米.已知平面镜到塔底部中心的距离PB为247.5米,小亮眼睛到地面的距离DC为1.6米,C,P,B在同一水平直线上,且DC,AB均垂直于CB.请你计算塔的高度AB.

答案： 3.解析 由光的反射定律可得∠CPD=∠BPA,
∵DC,AB均垂直于CB,
∴∠DCP=∠ABP=90°,
∴△DCP∽△ABP,
∴DC∶AB=PC∶PB,
∴1.6∶AB=4∶247.5,
∴AB=99米.答:塔的高度AB是99米.